> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Superficies z = f(x, y): derivadas parciales, gradiente y puntos críticos > Funciones de dos variables en 3D: curvas de nivel, derivadas parciales, gradiente, plano tangente y clasificación de puntos críticos con el hessiano (máximos, mínimos y puntos de silla). Escribe una función de dos variables, gírala en 3D y mira sus derivadas, su gradiente y su plano tangente. La temperatura de una habitación, la altura de una montaña o el beneficio de una empresa dependen de **varias variables**. Una función $z = f(x, y)$ asocia una altura a cada punto del plano, y su gráfica es una **superficie**. Las ideas de pendiente, tangente, máximo y mínimo siguen funcionando, pero ahora hay que elegir **en qué dirección** se mira. ## Lo que vas a aprender * Representar una función de dos variables y sus curvas de nivel. * Calcular derivadas parciales. * Qué es el gradiente y por qué es perpendicular a las curvas de nivel. * La ecuación del plano tangente. * Encontrar y clasificar puntos críticos con el hessiano. ## Cómo se usa el simulador 1. Escribe la función (por ejemplo `x^2 - y^2`) o elige un ejemplo: paraboloide, silla de montar, $\sin x\cos y$, campana gaussiana, ondas… 2. **Arrastra** para girar la superficie. Puedes ocultar el plano tangente o las curvas de nivel. | Control | Qué hace | Rango | | - | - | - | | **R · tamaño de la ventana** | Dominio $x, y \in [-R, R]$ | 1 – 8 | | **x₀, y₀** | Punto donde se calculan las derivadas | dentro de la ventana | 3. El panel muestra las derivadas parciales simbólicas, $f(x_0, y_0)$, $\partial f/\partial x$, $\partial f/\partial y$, el módulo del gradiente y la ecuación del plano tangente. Si el gradiente se anula, clasifica el punto crítico. ## Fundamentos teóricos ### Curvas de nivel Son las curvas del plano donde la función tiene la misma altura: $f(x, y) = k$. Como en un mapa topográfico, donde están **más juntas**, la superficie es **más empinada**. ### Derivadas parciales $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ es la pendiente al moverse **solo en la dirección x** (con $y$ fija). Se calcula derivando respecto a $x$ y tratando $y$ como una constante. Igual con $\dfrac{\partial f}{\partial y}$. ### Gradiente $$ \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right) $$ * Apunta en la dirección en que $f$ **sube más deprisa**. * Su módulo es esa tasa máxima de subida. * Es **perpendicular** a las curvas de nivel. La **derivada direccional** en la dirección de un vector unitario $\vec u$ es $\nabla f \cdot \vec u$. ### Plano tangente $$ z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)\,(y - y_0) $$ Es la mejor aproximación lineal de la superficie cerca del punto. ### Puntos críticos y hessiano Un punto es **crítico** si $\nabla f = 0$ (plano tangente horizontal). Para clasificarlo: $$ D = f_{xx}\,f_{yy} - f_{xy}^2 $$ | Condición | Tipo | | - | - | | $D > 0$ y $f_{xx} > 0$ | Mínimo local | | $D > 0$ y $f_{xx} < 0$ | Máximo local | | $D < 0$ | **Punto de silla** | | $D = 0$ | No concluyente | ## Ejemplos resueltos $f(x, y) = x^2 - y^2$: $f_x = 2x$, $f_y = -2y$, que se anulan en $(0, 0)$. $f_{xx} = 2$, $f_{yy} = -2$, $f_{xy} = 0$: $D = -4 < 0$. **Punto de silla**: sube en la dirección x y baja en la y. La misma función en $(1;\ 0{,}5)$: $f = 0{,}75$, $f_x = 2$, $f_y = -1$. Plano tangente: $z = 0{,}75 + 2(x - 1) - (y - 0{,}5)$. Gradiente $(2, -1)$, de módulo $\sqrt5 = 2{,}24$. $f(x, y) = x^2 + y^2$: crítico en $(0, 0)$, $D = 4 > 0$ y $f_{xx} = 2 > 0$: **mínimo**. Las curvas de nivel son circunferencias. ## Experimenta con el simulador Con $x^2 - y^2$, mueve el punto al origen y mira el plano tangente. ¿Es horizontal? ¿Es un máximo o un mínimo? Con cualquier función, comprueba que el gradiente cruza las curvas de nivel en ángulo recto. Con $\sin x\cos y$, busca máximos, mínimos y puntos de silla. Con $x^3 - 3xy^2$, mira el origen. ¿Por qué el hessiano no lo clasifica? ## Errores frecuentes * **Derivar también la otra variable** al hacer una parcial. * **Pensar que gradiente cero implica máximo o mínimo**: puede ser un punto de silla. * **Olvidar el término $f_{xy}^2$** en el hessiano. ## Herramientas relacionadas Las reglas de derivación. La tangente en una variable. El campo es el gradiente del potencial. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.