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# Polinomio de Taylor y Maclaurin: aproximar funciones con polinomios

> El polinomio de Taylor explicado: fórmula, desarrollos de Maclaurin de eˣ, sen x, cos x y ln(1+x), error y resto de Lagrange, radio de convergencia y ejemplos resueltos.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/matematicas/taylor">
  Aproxima cualquier función por su polinomio de Taylor, sube el grado y mira el error.
</Card>

¿Cómo calcula una calculadora $\sin(0{,}5)$ o $e^{1{,}3}$? No tiene una tabla con todos los valores: usa **polinomios**, que solo necesitan sumas y multiplicaciones. El **polinomio de Taylor** es el polinomio que mejor imita a una función cerca de un punto: tiene su mismo valor, su misma pendiente, su misma curvatura… hasta la derivada que queramos.

## Lo que vas a aprender

* La fórmula del polinomio de Taylor y de Maclaurin.
* Los desarrollos de las funciones más importantes.
* Cómo estimar el error de la aproximación.
* Qué es el radio de convergencia.

## Cómo se usa el simulador

1. Escribe una función o elige un ejemplo: $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, $\ln(1 + x)$, $1/(1 - x)$, $\sqrt{1 + x}$, $\arctan x$, $\sin x/x$.
2. Ajusta:

| Control | Qué hace | Rango |
| - | - | - |
| **n · grado** | Grado del polinomio | 0 – 15 |
| **a · centro** | Punto alrededor del que se desarrolla | −5 – 5 |
| **x · punto donde comparar** | Dónde se mide el error | −6 – 6 |

3. **▶ Subir el grado** anima el proceso.
4. Verás el polinomio, la gráfica de $f$ y $P_n$, el valor de los dos en $x$, el error absoluto y el relativo, y la **tabla de derivadas en el centro**.

## Fundamentos teóricos

### La fórmula

$$
P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots
$$

Cada término añade una derivada más que coincide con la de $f$ en $a$:

* Grado 0: el mismo valor.
* Grado 1: la **recta tangente**.
* Grado 2: la misma curvatura (una parábola osculatriz).

Con $a = 0$ se llama **polinomio de Maclaurin**.

### Desarrollos de Maclaurin que conviene saber

$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
$$

$$
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \qquad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
$$

$$
\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \qquad \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots
$$

$$
\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \cdots
$$

El seno solo tiene potencias impares (es una función impar) y el coseno, pares.

### El error: resto de Lagrange

$$
f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n + 1)!}(x - a)^{n+1}
$$

para algún $c$ entre $a$ y $x$. El error es pequeño si $x$ está **cerca de $a$** y el **grado es alto**, gracias al factorial del denominador.

### Radio de convergencia

Para algunas funciones, subir el grado mejora la aproximación en **todas partes** ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$). Para otras, solo en un intervalo: $\ln(1 + x)$ y $1/(1 - x)$ solo se aproximan para $|x| < 1$. Fuera de ese intervalo, **subir el grado empeora** la aproximación.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Seno" defaultOpen>
    $P_5(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120}$.

    $P_5(0{,}5) = 0{,}5 - 0{,}020833 + 0{,}000260 = 0{,}479427$. El valor real es $0{,}4794255$: error de menos de dos millonésimas.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · El número e">
    Con $P_4$ de $e^x$ en $x = 1$: $1 + 1 + \tfrac12 + \tfrac16 + \tfrac{1}{24} = 2{,}70833$. El real es $2{,}71828$: error 0,0099. Con $P_8$ ya es menor que $10^{-5}$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Una raíz">
    $\sqrt{1{,}1} \approx 1 + \dfrac{0{,}1}{2} - \dfrac{0{,}01}{8} = 1{,}04875$. Real: $1{,}048809$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Aproximación de ángulos pequeños">
    Con grado 1, $\sin x \approx x$. Es la aproximación que se usa en el péndulo: para 10° (0,1745 rad), $\sin x = 0{,}1736$; el error es del 0,5 %.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="Pegarse a la función">
    Con $\sin x$, sube el grado de 1 a 15 y mira hasta dónde llega el parecido.
  </Step>

  <Step title="El radio de convergencia">
    Con $\ln(1 + x)$, compara en $x = 0{,}5$ y en $x = 1{,}5$ al subir el grado. ¿En cuál mejora y en cuál empeora?
  </Step>

  <Step title="Otro centro">
    Con $e^x$, pon el centro en $a = 2$ y compara en $x = 2{,}5$ con el desarrollo centrado en 0.
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Olvidar los factoriales** en los denominadores.
* **Desarrollar en potencias de $x$** cuando el centro no es 0: deben ser potencias de $(x - a)$.
* **Usar el desarrollo fuera de su radio de convergencia.**

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Derivadas paso a paso" icon="calculator" href="/matematicas/calculo/derivadas">
    Las derivadas que forman el polinomio.
  </Card>

  <Card title="Límites paso a paso" icon="calculator" href="/matematicas/calculo/limites">
    Taylor resuelve límites difíciles.
  </Card>

  <Card title="Movimiento armónico simple" icon="wave-square" href="/fisica/oscilaciones/movimiento-armonico">
    La aproximación sen x ≈ x en el péndulo.
  </Card>
</CardGroup>


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