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# Combinatoria: variaciones, permutaciones y combinaciones

> Variaciones, permutaciones y combinaciones con y sin repetición: fórmulas, cómo saber cuál usar según si importa el orden y si se repiten elementos, y ejemplos resueltos.

<Card title="Abrir la calculadora" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/combinatoria">
  Variaciones, permutaciones y combinaciones, con y sin repetición.
</Card>

¿Cuántos PIN de 4 cifras hay? ¿De cuántas formas se puede elegir un equipo de 5 entre 12 jugadores? ¿Cuántas combinaciones tiene la lotería primitiva? La **combinatoria** cuenta sin tener que enumerar. La clave está en dos preguntas: **¿importa el orden?** y **¿se pueden repetir?**

## Cómo se usa la calculadora

1. Escribe el número de **elementos** $n$ y cuántos se **eligen**, $k$.
2. Obtienes a la vez las combinaciones, las variaciones, las permutaciones y las versiones con repetición, con los cálculos.

## Fundamentos teóricos

### El factorial

$$
n! = n \cdot (n - 1) \cdots 2 \cdot 1 \qquad 0! = 1
$$

$5! = 120$ es el número de formas de ordenar 5 objetos.

### ¿Cuál uso?

| | **Importa el orden** | **No importa el orden** |
| - | - | - |
| **Sin repetición** | Variaciones $V_{n,k}$ | Combinaciones $C_{n,k}$ |
| **Con repetición** | Variaciones con repetición $VR_{n,k}$ | Combinaciones con repetición $CR_{n,k}$ |

Las **permutaciones** son variaciones de **todos** los elementos ($k = n$).

### Fórmulas

$$
V_{n,k} = \frac{n!}{(n - k)!} \qquad P_n = n! \qquad C_{n,k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}
$$

$$
VR_{n,k} = n^k \qquad CR_{n,k} = \binom{n + k - 1}{k}
$$

Las combinaciones son las variaciones divididas entre $k!$, porque cada grupo aparece $k!$ veces con distinto orden.

### Pistas para saber si importa el orden

* **Importa**: podios, contraseñas, números de varias cifras, cargos distintos (presidente, secretario…), colas.
* **No importa**: equipos, comisiones, manos de cartas, apuestas de lotería, ingredientes de una ensalada.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Podio" defaultOpen>
    ¿De cuántas formas pueden quedar oro, plata y bronce entre 10 corredores? Importa el orden, sin repetición:

    $V_{10,3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Comisión">
    ¿Cuántas comisiones de 3 personas se pueden formar con 10? No importa el orden: $C_{10,3} = 720/3! = 120$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · PIN">
    PIN de 4 cifras: importa el orden y se pueden repetir: $VR_{10,4} = 10^4 = 10\,000$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Lotería primitiva">
    Elegir 6 números de 49: $C_{49,6} = 13\,983\,816$. La probabilidad de acertar es 1 entre casi 14 millones.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 5 · Con repetición sin orden">
    ¿Cuántas bolsas de 3 caramelos se pueden hacer con 5 sabores (se pueden repetir)? $CR_{5,3} = \binom{7}{3} = 35$.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Usar combinaciones cuando importa el orden** (o al revés). Pregúntate: ¿AB es distinto de BA?
* **Olvidar que $0! = 1$.**
* **Calcular factoriales enormes enteros**: simplifica antes, $\dfrac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8$.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Tablero de Galton" icon="chart-simple" href="/matematicas/estadistica/probabilidad">
    Los números combinatorios en acción.
  </Card>

  <Card title="Distribución normal" icon="bell" href="/matematicas/estadistica/distribucion-normal">
    Probabilidades continuas.
  </Card>

  <Card title="Backtracking" icon="code-branch" href="/programacion/c/backtracking">
    Generar todas las combinaciones con un programa.
  </Card>
</CardGroup>


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