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# Contraste de hipótesis: valor p, errores de tipo I y II y potencia

> Contrastes de hipótesis explicados: hipótesis nula y alternativa, estadístico de contraste, nivel de significación, valor p, región crítica, errores de tipo I y II, potencia, contrastes z y t para la media, para la proporción, para dos medias y chi-cuadrado, con ejemplos resueltos.

¿Este medicamento funciona mejor que el placebo? ¿Ha cambiado la vida media de las baterías con el nuevo proveedor? ¿Está bien calibrada la máquina? Un **contraste de hipótesis** convierte estas preguntas en un procedimiento: se supone que no pasa nada (la hipótesis nula) y se mide **lo sorprendentes** que serían los datos si eso fuera cierto. Si son muy sorprendentes, se rechaza.

## Lo que vas a aprender

* Cómo plantear la hipótesis nula y la alternativa.
* Los pasos de un contraste y el papel del estadístico.
* Qué es el valor p y cómo se interpreta (y cómo no).
* Los errores de tipo I y II, y la potencia.
* Los contrastes más usados: media, proporción, dos medias y chi-cuadrado.

## Fundamentos teóricos

### Las hipótesis

* **Hipótesis nula $H_0$**: lo que se da por bueno mientras no haya pruebas en contra. Siempre lleva un igual: $\mu = 500$.
* **Hipótesis alternativa $H_1$**: lo que se quiere demostrar.

| $H_1$ | Tipo de contraste |
| - | - |
| $\mu \ne \mu_0$ | Bilateral (dos colas) |
| $\mu > \mu_0$ | Unilateral derecho |
| $\mu < \mu_0$ | Unilateral izquierdo |

Es como un juicio: $H_0$ es la presunción de inocencia. "No rechazar $H_0$" no demuestra que sea cierta, solo que no hay pruebas suficientes.

### Pasos

1. Plantear $H_0$ y $H_1$.
2. Elegir el **nivel de significación** $\alpha$ (habitualmente 0,05).
3. Calcular el **estadístico de contraste** con los datos.
4. Calcular el **valor p** o comparar con el **valor crítico**.
5. Decidir: si $p < \alpha$, se rechaza $H_0$.

### El valor p

Es la probabilidad de obtener un resultado **tan extremo o más** que el observado **si $H_0$ fuera cierta**. Un valor p pequeño dice que los datos serían raros bajo $H_0$.

Lo que **no** es: la probabilidad de que $H_0$ sea cierta, ni la probabilidad de que el resultado sea "por azar".

### Errores

| | $H_0$ cierta | $H_0$ falsa |
| - | - | - |
| **No se rechaza** | Correcto | **Error de tipo II** (probabilidad $\beta$) |
| **Se rechaza** | **Error de tipo I** (probabilidad $\alpha$) | Correcto (**potencia** $1 - \beta$) |

* El **error de tipo I** es un falso positivo: condenar a un inocente. Se controla eligiendo $\alpha$.
* El **error de tipo II** es un falso negativo: dejar libre a un culpable.
* Para un tamaño de muestra fijo, bajar $\alpha$ sube $\beta$. La única forma de bajar los dos es **aumentar $n$**.

### Estadísticos más usados

| Contraste | Estadístico | Distribución bajo $H_0$ |
| - | - | - |
| Media, σ conocida | $z = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt n}$ | $N(0, 1)$ |
| Media, σ desconocida | $t = \frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt n}$ | $t_{n-1}$ |
| Proporción | $z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ | $N(0, 1)$ |
| Dos medias (independientes) | $t = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}$ | $t$ (Welch) |
| Datos emparejados | $t = \frac{\bar d}{s_d/\sqrt n}$ con $d_i = x_i - y_i$ | $t_{n-1}$ |
| Bondad de ajuste / independencia | $\chi^2 = \sum\frac{(O - E)^2}{E}$ | $\chi^2$ |

En el chi-cuadrado, $O$ son las frecuencias observadas y $E$ las esperadas si $H_0$ es cierta. Grados de libertad: categorías − 1 (bondad de ajuste) o $(f - 1)(c - 1)$ (tabla de contingencia).

### Significación estadística y relevancia

Con muestras enormes, diferencias minúsculas salen "significativas". Un fármaco que baja la tensión 0,5 mmHg puede tener $p = 0{,}001$ y no servir para nada. Por eso, además del valor p, se da el **tamaño del efecto** y su [intervalo de confianza](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/intervalos-confianza.md).

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Contraste z bilateral
>
> Botellas de 500 ml con $\sigma = 4$ ml. Una muestra de 36 da $\bar x = 498$. ¿Está mal calibrada la máquina, con $\alpha = 0{,}05$?
>
> $H_0: \mu = 500$; $H_1: \mu \ne 500$.
>
> $z = \frac{498 - 500}{4/6} = -3$. Valor p $= 2\,P(Z \le -3) = 0{,}0027$.
>
> $p < 0{,}05$: **se rechaza $H_0$**. La máquina está descalibrada.

> [accordion] Ejemplo 2 · Contraste t unilateral
>
> Un fabricante dice que sus baterías duran al menos 20 h. 12 baterías dan $\bar x = 19{,}1$ h y $s = 1{,}6$ h. ¿Hay pruebas de que duran menos, con $\alpha = 0{,}05$?
>
> $H_0: \mu = 20$; $H_1: \mu < 20$.
>
> $t = \frac{19{,}1 - 20}{1{,}6/\sqrt{12}} = -1{,}95$. Valor crítico: $-t_{0{,}05;\,11} = -1{,}796$.
>
> $-1{,}95 < -1{,}796$: **se rechaza $H_0$** (valor p ≈ 0,039).

> [accordion] Ejemplo 3 · Proporción
>
> Un proveedor garantiza como mucho un 2 % de defectos. En 500 piezas hay 16 defectuosas. ¿Incumple, con $\alpha = 0{,}05$?
>
> $H_0: p = 0{,}02$; $H_1: p > 0{,}02$. $\hat p = 0{,}032$.
>
> $z = \frac{0{,}032 - 0{,}02}{\sqrt{0{,}02\cdot0{,}98/500}} = \frac{0{,}012}{0{,}00626} = 1{,}92$. Valor p $= 0{,}027$: **se rechaza**.

> [accordion] Ejemplo 4 · Datos emparejados
>
> Se mide el consumo de 6 coches antes y después de un aditivo. Diferencias (antes − después, en L/100 km): 0,3; 0,1; 0,4; −0,1; 0,2; 0,3.
>
> $\bar d = 0{,}2$, $s_d = 0{,}179$. $t = \frac{0{,}2}{0{,}179/\sqrt6} = 2{,}74$. Con 5 grados de libertad, el valor p unilateral es 0,020: el aditivo reduce el consumo con $\alpha = 0{,}05$.
>
> Tratar los datos como dos muestras independientes habría escondido el efecto bajo la variabilidad entre coches.

> [accordion] Ejemplo 5 · Chi-cuadrado: ¿dado trucado?
>
> 600 tiradas: 90, 95, 110, 85, 100, 120. Esperado: 100 de cada.
>
> $\chi^2 = \frac{100 + 25 + 100 + 225 + 0 + 400}{100} = 8{,}5$. Con 5 grados de libertad, $\chi^2_{0{,}05} = 11{,}07$.
>
> $8{,}5 < 11{,}07$: **no se rechaza** que el dado sea justo (valor p ≈ 0,13).

## Errores frecuentes

* **Interpretar el valor p como $P(H_0 \text{ cierta})$.** Es la probabilidad de los datos suponiendo $H_0$, no al revés.
* **Decir "se acepta $H_0$".** Lo correcto es "no se rechaza": falta de pruebas no es prueba de ausencia.
* **Elegir la hipótesis unilateral después de ver los datos** para que salga significativo.
* **Hacer muchos contrastes y quedarse con el que da $p < 0{,}05$.** Con 20 contrastes, uno saldrá significativo por azar. Hay que corregir, por ejemplo con Bonferroni ($\alpha/k$).
* **Confundir significativo con importante.** Mira también el tamaño del efecto.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Por qué α = 0,05?
>
> Es una convención que propuso Ronald Fisher en los años 20, no una ley. En física de partículas se exigen "5 sigmas" ($p \approx 3\cdot10^{-7}$) para anunciar un descubrimiento, como el bosón de Higgs; en estudios exploratorios se acepta a veces 0,10.

> [accordion] ¿Cómo se elige el tamaño de muestra?
>
> Fijando $\alpha$, la potencia deseada (típicamente el 80 %) y la diferencia mínima que se quiere detectar. Para un contraste z bilateral: $n = \left(\frac{(z_{\alpha/2} + z_\beta)\,\sigma}{\Delta}\right)^2$.

## Temas relacionados

> [card] [Intervalos de confianza](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/intervalos-confianza.md)
>
> Estimar con incertidumbre.

> [card] [Distribución normal](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/distribucion-normal.md)
>
> Calcula las probabilidades de las colas.

> [card] [Distribuciones discretas](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/distribuciones-discretas.md)
>
> Binomial y Poisson.


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