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# Distribución normal: tipificación y tabla N(0,1) paso a paso

> Calcula probabilidades de una distribución normal N(μ, σ) paso a paso: tipificación, tabla N(0,1), simetría, probabilidades de intervalos, búsqueda inversa y regla 68-95-99,7.

<Card title="Abrir la calculadora" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/distribucion-normal">
  Probabilidades de una N(μ, σ) paso a paso, con la tabla N(0,1) interactiva.
</Card>

Las estaturas, las notas de un examen numeroso, los errores de medida o el peso de los paquetes de una fábrica se reparten según una **campana de Gauss**. Con la distribución normal se calcula qué proporción de la población está por encima, por debajo o entre dos valores. En los exámenes se hace siempre igual: **tipificar, buscar en la tabla y usar la simetría**.

## Lo que vas a aprender

* Las propiedades de la distribución normal $N(\mu, \sigma)$.
* Tipificar para pasar a la $N(0, 1)$.
* Leer la tabla y usar la simetría para valores negativos y probabilidades "mayor que".
* Calcular probabilidades de intervalos.
* Buscar el valor que deja una probabilidad dada (búsqueda inversa).

## Cómo se usa la calculadora

1. Elige qué calcular: **P(X ≤ a)**, **P(X ≥ a)**, **P(a ≤ X ≤ b)** o **Buscar x** (dada una probabilidad).
2. Escribe la media $\mu$, la desviación $\sigma$ y los valores.
3. Verás el resultado, el **paso a paso** (tipificación, casilla de la tabla, simetría) con la **tabla N(0,1)** resaltada y el área sombreada en la gráfica.

## Fundamentos teóricos

### La campana

Una variable $X \sim N(\mu, \sigma)$ tiene una densidad en forma de campana:

* **Simétrica** respecto a la media $\mu$.
* Media, mediana y moda coinciden.
* $\sigma$ indica lo ancha que es.
* El área total bajo la curva es 1. La **probabilidad** de un intervalo es el **área** sobre él.

### Regla 68-95-99,7

| Intervalo | Probabilidad |
| - | - |
| $\mu \pm \sigma$ | 68,3 % |
| $\mu \pm 2\sigma$ | 95,4 % |
| $\mu \pm 3\sigma$ | 99,7 % |

### Tipificar

$$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)
$$

$z$ dice a cuántas desviaciones típicas de la media está el valor. La tabla da $P(Z \le z)$ para $z \ge 0$: la fila es el entero y la primera decimal, y la columna, la segunda decimal.

### Simetría y complementario

$$
P(Z \ge z) = 1 - P(Z \le z) \qquad P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)
$$

$$
P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)
$$

En una variable continua, $P(X = a) = 0$, así que $\le$ y $<$ dan lo mismo.

### Búsqueda inversa

Si te dan la probabilidad, se busca en el **interior** de la tabla el valor más cercano, se lee $z$ y se destipifica: $x = \mu + z\,\sigma$.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Mayor que" defaultOpen>
    Las notas siguen una $N(6;\ 1{,}5)$. ¿Qué proporción saca más de un 8?

    $z = (8 - 6)/1{,}5 = 1{,}33$. $P(Z \ge 1{,}33) = 1 - 0{,}9082 = 0{,}0918$: un 9,2 %.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Intervalo">
    En la misma normal, ¿qué proporción saca entre 4,5 y 7,5?

    $z = \pm 1$. $P(-1 \le Z \le 1) = 0{,}8413 - (1 - 0{,}8413) = 0{,}6826$: un 68 %.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Valor negativo">
    $P(Z \le -1{,}5) = 1 - P(Z \le 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Búsqueda inversa">
    ¿Qué nota hay que sacar para estar en el 10 % mejor?

    Buscamos $P(Z \le z) = 0{,}90$: $z \approx 1{,}28$. $x = 6 + 1{,}28 \cdot 1{,}5 = 7{,}92$.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Buscar en la tabla sin tipificar.**
* **Olvidar el complementario** cuando piden "mayor que".
* **Restar en el orden equivocado** en los intervalos.
* **Confundir $\sigma$ con $\sigma^2$**: $N(6; 2{,}25)$ puede referirse a la varianza en algunos libros.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Tablero de Galton" icon="chart-simple" href="/matematicas/estadistica/probabilidad">
    De dónde sale la campana.
  </Card>

  <Card title="Estadística descriptiva" icon="chart-column" href="/matematicas/estadistica/estadistica">
    Media y desviación típica de unos datos.
  </Card>

  <Card title="Caminata aleatoria" icon="shoe-prints" href="/fisica/fisica-estadistica/caminata-aleatoria">
    La campana en la física.
  </Card>
</CardGroup>


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