> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Distribuciones discretas: binomial, Poisson y geométrica > Variables aleatorias discretas y sus distribuciones: función de probabilidad, esperanza y varianza, distribución de Bernoulli, binomial, geométrica, hipergeométrica y de Poisson, aproximaciones entre ellas y cómo elegir la adecuada, con ejemplos resueltos. ¿Cuántas piezas defectuosas habrá en un lote de 50? ¿Cuántas llamadas llegarán a una centralita en un minuto? ¿Cuántos intentos hacen falta hasta el primer acierto? Son preguntas sobre **variables aleatorias discretas**, que solo toman valores enteros. Unas pocas distribuciones, la binomial, la de Poisson y la geométrica, describen la inmensa mayoría de estas situaciones, y reconocer cuál toca es la mitad del problema. ## Lo que vas a aprender * Qué es una variable aleatoria discreta, su función de probabilidad, su esperanza y su varianza. * Las distribuciones de Bernoulli, binomial, geométrica, hipergeométrica y de Poisson. * Cómo decidir qué distribución corresponde a cada problema. * Cuándo se puede aproximar una por otra. ## Fundamentos teóricos ### Variable aleatoria discreta Asigna un número a cada resultado de un experimento, con valores aislados $x_1, x_2, \dots$ La **función de probabilidad** es $p(x) = P(X = x)$, con $\sum p(x) = 1$. $$ E[X] = \mu = \sum x\,p(x) \qquad \operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = E[X^2] - \mu^2 $$ Propiedades: $E[aX + b] = aE[X] + b$ y $\operatorname{Var}(aX + b) = a^2\operatorname{Var}(X)$. ### Bernoulli Un solo experimento con dos resultados: éxito (1) con probabilidad $p$ o fracaso (0) con probabilidad $q = 1 - p$. $E = p$, $\operatorname{Var} = pq$. ### Binomial $B(n, p)$ Número de éxitos en $n$ repeticiones **independientes** de un Bernoulli con la **misma** $p$: $$ P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \qquad k = 0, 1, \dots, n $$ $$ E[X] = np \qquad \operatorname{Var}(X) = np(1-p) $$ El número combinatorio cuenta en qué posiciones caen los éxitos. Es la distribución del [tablero de Galton](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/probabilidad.md). ### Geométrica Número de intentos hasta el **primer** éxito (incluido): $$ P(X = k) = (1-p)^{k-1}p \qquad k = 1, 2, \dots \qquad E[X] = \frac1p \qquad \operatorname{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2} $$ **No tiene memoria**: si ya llevas 10 fracasos, la probabilidad de tardar 3 intentos más es la misma que al principio. ### Hipergeométrica Como la binomial, pero **sin reemplazamiento**: de una población de $N$ elementos con $K$ "éxitos" se extraen $n$: $$ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \qquad E[X] = n\frac{K}{N} $$ Si $N$ es mucho mayor que $n$ (en la práctica, $n < 0{,}05N$), se aproxima por una binomial con $p = K/N$. ### Poisson $P(\lambda)$ Número de sucesos en un intervalo de tiempo o espacio, cuando ocurren **al azar, de forma independiente y a ritmo medio constante** $\lambda$: $$ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \qquad k = 0, 1, 2, \dots \qquad E[X] = \operatorname{Var}(X) = \lambda $$ Llamadas por minuto, desintegraciones por segundo, erratas por página, averías por año. Si el intervalo cambia, $\lambda$ se escala en proporción. ### Cómo elegir | Pregunta | Distribución | | - | - | | ¿Cuántos éxitos en $n$ intentos independientes? | Binomial | | ¿Cuántos éxitos al sacar $n$ de una población pequeña, sin devolver? | Hipergeométrica | | ¿Cuántos intentos hasta el primer éxito? | Geométrica | | ¿Cuántos sucesos en un intervalo, sin un número máximo de intentos? | Poisson | ### Aproximaciones | Aproximación | Condición habitual | | - | - | | Binomial → Poisson con $\lambda = np$ | $n$ grande y $p$ pequeña ($n \ge 50$, $np \le 5$) | | Binomial → Normal $N(np, \sqrt{np(1-p)})$ | $np \ge 5$ y $n(1-p) \ge 5$, con corrección de continuidad | | Poisson → Normal $N(\lambda, \sqrt\lambda)$ | $\lambda$ grande ($\lambda \ge 10$) | La **corrección de continuidad** suma o resta 0,5: $P(X \le 10) \approx P(Y \le 10{,}5)$ con $Y$ normal. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Binomial: piezas defectuosas > > El 5 % de las piezas sale defectuoso. En una caja de 20, ¿probabilidad de que haya como mucho una defectuosa? > > $X \sim B(20;\ 0{,}05)$. > > $P(X = 0) = 0{,}95^{20} = 0{,}3585$. $P(X = 1) = 20 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95^{19} = 0{,}3774$. > > $P(X \le 1) = 0{,}736$. Media: $np = 1$ pieza por caja. > [accordion] Ejemplo 2 · Poisson: llamadas a una centralita > > Llegan de media 3 llamadas por minuto. ¿Probabilidad de que en un minuto lleguen más de 5? ¿Y ninguna en 2 minutos? > > $P(X > 5) = 1 - \sum_{k=0}^{5}\frac{e^{-3}3^k}{k!} = 1 - 0{,}9161 = 0{,}0839$. > > En 2 minutos, $\lambda = 6$: $P(X = 0) = e^{-6} = 0{,}0025$. > [accordion] Ejemplo 3 · Geométrica: hasta el primer seis > > ¿Cuántas tiradas de un dado hacen falta de media hasta sacar un seis? ¿Y la probabilidad de necesitar más de 10? > > $E[X] = 1/p = 6$. $P(X > 10) = \left(\frac56\right)^{10} = 0{,}1615$: los 10 primeros fallan. > [accordion] Ejemplo 4 · Hipergeométrica: control de calidad > > Un lote de 50 piezas tiene 4 defectuosas. Se inspeccionan 5 al azar. ¿Probabilidad de no encontrar ninguna? > > $P(X = 0) = \frac{\binom{4}{0}\binom{46}{5}}{\binom{50}{5}} = \frac{1\,370\,754}{2\,118\,760} = 0{,}647$. > > Con la binomial ($p = 0{,}08$) saldría $0{,}92^5 = 0{,}659$: aquí la muestra es el 10 % del lote y la aproximación ya se nota. > [accordion] Ejemplo 5 · Aproximación de Poisson > > Un chip falla con probabilidad 0,001. En un pedido de 2000, ¿probabilidad de exactamente 3 fallos? > > Binomial exacta: $\binom{2000}{3}0{,}001^3\,0{,}999^{1997} = 0{,}1805$. > > Poisson con $\lambda = 2$: $\frac{e^{-2}2^3}{3!} = 0{,}1804$. Prácticamente igual y mucho más fácil de calcular. > [accordion] Ejemplo 6 · Aproximación normal > > Se lanza una moneda 100 veces. ¿$P(X \ge 60)$? > > $\mu = 50$, $\sigma = 5$. Con corrección de continuidad: $P\left(Z \ge \frac{59{,}5 - 50}{5}\right) = P(Z \ge 1{,}9) = 0{,}0287$. El valor exacto es 0,0284. ## Errores frecuentes * **Usar la binomial sin independencia** o con $p$ que cambia (extracciones sin reemplazamiento de una población pequeña): ahí toca la hipergeométrica. * **No escalar λ con el intervalo.** Si son 3 llamadas por minuto, en 5 minutos $\lambda = 15$. * **Confundir las dos geométricas.** Unos libros cuentan los intentos hasta el éxito (empieza en 1, media $1/p$) y otros los fracasos antes del éxito (empieza en 0, media $(1-p)/p$). * **Olvidar la corrección de continuidad** al aproximar por la normal. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Por qué en Poisson la media es igual a la varianza? > > Porque es el límite de una binomial con $n \to \infty$ y $p \to 0$ manteniendo $np = \lambda$: la varianza $np(1-p)$ tiende a $np = \lambda$. Si en unos datos de recuento la varianza es mucho mayor que la media, los sucesos no son independientes (hay "rachas") y Poisson no es un buen modelo. > [accordion] ¿Qué relación hay entre Poisson y la exponencial? > > Si los sucesos siguen un proceso de Poisson de ritmo $\lambda$, el **tiempo entre dos sucesos** sigue una distribución exponencial de media $1/\lambda$. Es la versión continua de la geométrica y tampoco tiene memoria. ## Temas relacionados > [card] [Combinatoria](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/combinatoria.md) > > Los números combinatorios de la binomial. > [card] [Tablero de Galton](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/probabilidad.md) > > Una binomial que se convierte en normal. > [card] [Distribución normal](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/distribucion-normal.md) > > El límite de la binomial y de Poisson. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.