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# Estimar π con puntos al azar: el método de Monte Carlo

> Cómo estimar π lanzando puntos al azar en un cuadrado: método de Monte Carlo, por qué funciona, cómo baja el error (1/√N) y para qué se usan estos métodos.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/matematicas/estimacion-pi">
  Lanza puntos al azar y cuenta cuántos caen dentro del círculo: con suficientes, sale π.
</Card>

¿Se puede calcular $\pi$ tirando dardos al azar? Sí. Dibuja un círculo dentro de un cuadrado y lanza puntos sin apuntar. La proporción que cae dentro del círculo se acerca a $\pi/4$. Es el **método de Monte Carlo**: usar el azar para calcular cosas que no son aleatorias. Se usa en física, finanzas, gráficos por ordenador e inteligencia artificial.

## Lo que vas a aprender

* La probabilidad geométrica.
* Por qué la fracción de puntos dentro estima $\pi/4$.
* Cómo disminuye el error con el número de puntos.
* Ventajas y límites de los métodos de Monte Carlo.

## Cómo se usa el simulador

* Lanza **1**, **10**, **100** o **1000** puntos, o activa **▶ Lanzar seguido** y ajusta los puntos por segundo. **↺ Borrar** vuelve a empezar.
* Los puntos dentro del círculo se dibujan de un color y los de fuera, de otro.
* El panel da la cuenta **dentro / total**, la estimación $\pi \approx 4 \cdot \text{dentro}/\text{total}$, el **error** y el **error típico esperado**.
* La gráfica **Estimación según el número de puntos** muestra cómo se acerca a $\pi$, con una franja donde cae el 95 % de las veces.

## Fundamentos teóricos

### Probabilidad geométrica

Si un punto cae al azar (con la misma probabilidad en cualquier sitio) en una región, la probabilidad de que caiga en una zona es la proporción de área:

$$
P = \frac{\text{área de la zona}}{\text{área total}}
$$

### El círculo en el cuadrado

Un círculo de radio 1 tiene área $\pi$; el cuadrado de lado 2 que lo contiene, 4:

$$
P(\text{dentro}) = \frac{\pi}{4} \quad\Longrightarrow\quad \pi \approx 4 \cdot \frac{\text{dentro}}{\text{total}}
$$

Un punto $(x, y)$ está dentro si $x^2 + y^2 \le 1$.

### ¿Cuánto se equivoca?

Por la **ley de los grandes números**, la proporción se acerca a $\pi/4$ al aumentar $N$. El error típico es:

$$
\text{error} \approx 4\sqrt{\frac{p(1 - p)}{N}} \approx \frac{1{,}64}{\sqrt N}
$$

Baja como $1/\sqrt N$: para ganar **una cifra decimal** hacen falta **100 veces más puntos**.

### ¿Para qué sirve si es tan lento?

Para calcular π no es eficiente. Pero Monte Carlo brilla en problemas con **muchas dimensiones** (integrales en 100 variables, simulaciones de partículas, riesgos financieros), donde los métodos clásicos son imposibles: su error sigue bajando como $1/\sqrt N$ sea cual sea la dimensión.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Diez mil puntos" defaultOpen>
    De 10 000 puntos, 7868 caen dentro: $\pi \approx 4 \cdot 0{,}7868 = 3{,}1472$. Error: 0,0056.

    Error típico esperado: $4\sqrt{0{,}785 \cdot 0{,}215/10\,000} = 0{,}016$. El resultado está dentro de lo normal.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · ¿Cuántos puntos para tres decimales?">
    Para un error típico de 0,001: $1{,}64/\sqrt N = 0{,}001 \Rightarrow N \approx 2{,}7$ millones de puntos.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="Uno a uno">
    Lanza 10 puntos de uno en uno. ¿Cuánto varía la estimación?
  </Step>

  <Step title="La franja">
    Lanza puntos seguidos y observa cómo la estimación entra y se queda en la franja del 95 %.
  </Step>

  <Step title="100 veces más">
    Anota el error con 100 puntos y con 10 000. ¿Se divide aproximadamente entre 10?
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Pensar que más puntos siempre dan un valor más cercano.** En promedio sí, pero la estimación oscila.
* **Olvidar multiplicar por 4.**
* **Esperar que converja rápido**: el error baja lentamente.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Tablero de Galton" icon="chart-simple" href="/matematicas/estadistica/probabilidad">
    Azar y campana de Gauss.
  </Card>

  <Card title="Error absoluto y relativo" icon="calculator" href="/matematicas/numeros/error-absoluto-relativo">
    Medir la calidad de la estimación.
  </Card>

  <Card title="Caminata aleatoria" icon="shoe-prints" href="/fisica/fisica-estadistica/caminata-aleatoria">
    Otra simulación con azar.
  </Card>
</CardGroup>


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