> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Intervalos de confianza: media, proporción y tamaño de muestra > Intervalos de confianza explicados: estimadores, error estándar, teorema central del límite, intervalo para la media con σ conocida (normal) y desconocida (t de Student), para una proporción y para la varianza, margen de error y cálculo del tamaño de muestra, con ejemplos resueltos. Una encuesta a 1000 personas dice que el 42 % votará a un partido. ¿Cuánto se puede fiar uno de ese número? Un **intervalo de confianza** responde dando un rango, por ejemplo del 39 % al 45 %, y un **nivel de confianza**, por ejemplo del 95 %, que mide lo fiable que es el método. Es la forma honesta de dar un resultado obtenido de una muestra: con su incertidumbre. ## Lo que vas a aprender * La diferencia entre parámetro, estimador y estimación. * Qué es el error estándar y qué dice el teorema central del límite. * Cómo construir intervalos para la media, la proporción y la varianza. * Cuándo se usa la normal y cuándo la t de Student. * Cómo calcular el tamaño de muestra necesario para un margen de error. * Qué significa realmente "95 % de confianza". ## Fundamentos teóricos ### Parámetro y estimador El **parámetro** es el valor desconocido de la población ($\mu$, $p$, $\sigma$). El **estimador** es la fórmula que se aplica a la muestra ($\bar x$, $\hat p$, $s$), y la **estimación**, el número que sale. La cuasivarianza muestral usa $n - 1$ para no subestimar la varianza: $$ s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2 $$ ### Error estándar y teorema central del límite La media muestral $\bar x$ varía de una muestra a otra. Su desviación típica es el **error estándar**: $$ \sigma_{\bar x} = \frac{\sigma}{\sqrt n} $$ **Teorema central del límite:** para $n$ grande (en la práctica, $n \ge 30$), $\bar x$ sigue aproximadamente una normal $N\!\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt n}\right)$, **sea cual sea** la distribución de la población. ### Estructura de un intervalo $$ \text{estimación} \pm \underbrace{\text{valor crítico} \times \text{error estándar}}_{\text{margen de error } E} $$ Valores críticos de la normal $z_{\alpha/2}$, con confianza $1 - \alpha$: | Confianza | 90 % | 95 % | 99 % | | - | - | - | - | | $z_{\alpha/2}$ | 1,645 | 1,960 | 2,576 | ### Intervalos más usados | Parámetro | Caso | Intervalo | | - | - | - | | Media $\mu$ | $\sigma$ conocida | $\bar x \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt n}$ | | Media $\mu$ | $\sigma$ desconocida | $\bar x \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt n}$ | | Proporción $p$ | $n\hat p \ge 5$ y $n(1-\hat p) \ge 5$ | $\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$ | | Varianza $\sigma^2$ | Población normal | $\left[\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}},\ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}\right]$ | ### La t de Student Si $\sigma$ no se conoce y se sustituye por $s$, la incertidumbre extra hace que las colas sean más gruesas: en lugar de la normal se usa la **t de Student** con $n - 1$ **grados de libertad**. Para muestras grandes se parece mucho a la normal. | Grados de libertad | 5 | 10 | 20 | 30 | ∞ | | - | - | - | - | - | - | | $t_{0{,}025}$ (95 %) | 2,571 | 2,228 | 2,086 | 2,042 | 1,960 | Con muestras pequeñas la población tiene que ser aproximadamente normal. ### Tamaño de muestra Despejando $n$ del margen de error $E$: $$ n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2 \qquad n = \frac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2} $$ Para la proporción, si no se sabe nada se usa $\hat p = 0{,}5$, el caso más desfavorable. Se redondea siempre **hacia arriba**. ### Qué significa el 95 % **No** significa que haya un 95 % de probabilidad de que $\mu$ esté en el intervalo calculado: $\mu$ es fijo, y está o no está. Significa que, si se repitiera el muestreo muchas veces, **el 95 % de los intervalos** así construidos contendría a $\mu$. La confianza es del **método**, no de un intervalo concreto. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Media con σ conocida > > Una máquina llena botellas con $\sigma = 4$ ml. Una muestra de 36 da $\bar x = 498$ ml. Intervalo al 95 %. > > $E = 1{,}96\cdot\frac{4}{\sqrt{36}} = 1{,}31$ ml. Intervalo: $(496{,}7;\ 499{,}3)$ ml. > > El valor nominal de 500 ml queda fuera: hay indicios de que la máquina llena de menos. > [accordion] Ejemplo 2 · Media con σ desconocida (t de Student) > > Se miden 10 resistencias de 100 Ω: $\bar x = 101{,}2$ Ω, $s = 1{,}5$ Ω. Intervalo al 95 %. > > $t_{0{,}025;\,9} = 2{,}262$. $E = 2{,}262\cdot\frac{1{,}5}{\sqrt{10}} = 1{,}07$ Ω. > > Intervalo: $(100{,}13;\ 102{,}27)$ Ω. Con la normal habría salido $\pm0{,}93$: demasiado optimista. > [accordion] Ejemplo 3 · Proporción: una encuesta > > De 1000 encuestados, 420 votarán al partido A. Intervalo al 95 %. > > $\hat p = 0{,}42$. $E = 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}42\cdot0{,}58}{1000}} = 1{,}96\cdot0{,}0156 = 0{,}031$. > > Intervalo: del 38,9 % al 45,1 %. Es el "margen de error de ±3 puntos" de las noticias. > [accordion] Ejemplo 4 · Tamaño de muestra > > ¿Cuántas personas hay que encuestar para un margen de ±2 puntos al 95 %? > > $n = \frac{1{,}96^2\cdot0{,}5\cdot0{,}5}{0{,}02^2} = 2401$. Para reducir el margen a la mitad hace falta **cuadruplicar** la muestra. > [accordion] Ejemplo 5 · Más confianza, intervalo más ancho > > Con los datos del ejemplo 1 al 99 %: $E = 2{,}576\cdot\frac46 = 1{,}72$ ml, intervalo $(496{,}3;\ 499{,}7)$. Más seguridad cuesta más anchura. ## Errores frecuentes * **Decir "hay un 95 % de probabilidad de que μ esté aquí".** La confianza se refiere al procedimiento, no a un intervalo concreto. * **Usar $z$ con muestras pequeñas y σ desconocida.** Toca la t de Student con $n - 1$ grados de libertad. * **Dividir por $n$ en lugar de por $\sqrt n$** en el error estándar. * **Redondear el tamaño de muestra hacia abajo.** 2400,6 personas son 2401. * **Olvidar que el intervalo solo recoge el error aleatorio.** Una muestra sesgada (solo gente que contesta al teléfono fijo) da un intervalo estrecho y equivocado. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Por qué el error baja con √n y no con n? > > Porque los errores de cada dato se compensan en parte al promediar, pero no del todo. La varianza de la media es $\sigma^2/n$, así que la desviación típica es $\sigma/\sqrt n$. Es la misma ley que en la [caminata aleatoria](https://apuntes.simulab.es/fisica/fisica-estadistica/caminata-aleatoria.md) y en el método de Montecarlo. > [accordion] ¿Qué relación tiene con los contrastes de hipótesis? > > Son dos caras de la misma moneda: un contraste bilateral al nivel $\alpha$ rechaza $H_0: \mu = \mu_0$ exactamente cuando $\mu_0$ queda **fuera** del intervalo de confianza al $1 - \alpha$. Lo explica el tema de [contrastes de hipótesis](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/contraste-hipotesis.md). ## Temas relacionados > [card] [Distribución normal](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/distribucion-normal.md) > > Probabilidades y tipificación. > [card] [Contraste de hipótesis](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/contraste-hipotesis.md) > > Decidir con datos. > [card] [Estadística descriptiva](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/estadistica.md) > > Media, desviación típica y gráficos. 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