> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: tablas, árboles y ejemplos > Probabilidad condicionada explicada: definición, sucesos independientes, regla del producto, tablas de contingencia, diagramas de árbol, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes, con ejemplos resueltos de pruebas diagnósticas, falsos positivos, control de calidad y filtros de spam. Si un test médico da positivo, ¿cuál es la probabilidad de tener la enfermedad? La intuición suele equivocarse por mucho, y la respuesta correcta la da el **teorema de Bayes**. Para llegar a él hace falta la **probabilidad condicionada**: la probabilidad de un suceso cuando ya se sabe que ha ocurrido otro. Es la base del diagnóstico médico, de los filtros de spam, del control de calidad y de buena parte de la inteligencia artificial. ## Lo que vas a aprender * Qué es la probabilidad condicionada y cómo se calcula. * Cuándo dos sucesos son independientes. * Cómo organizar los datos en tablas de contingencia y diagramas de árbol. * El teorema de la probabilidad total. * El teorema de Bayes y por qué los falsos positivos engañan tanto. ## Fundamentos teóricos ### Probabilidad condicionada La probabilidad de $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$: $$ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad (P(B) > 0) $$ Al saber que ha ocurrido $B$, el espacio de posibilidades se reduce a $B$, y se mira qué parte de $B$ es también $A$. ### Regla del producto Despejando: $$ P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B) = P(A)\,P(B \mid A) $$ Es lo que se hace al multiplicar las probabilidades a lo largo de una rama de un **diagrama de árbol**. ### Independencia $A$ y $B$ son **independientes** si saber uno no cambia la probabilidad del otro: $$ P(A \mid B) = P(A) \iff P(A \cap B) = P(A)\,P(B) $$ Dos lanzamientos de una moneda son independientes; sacar dos cartas sin devolver la primera, no. **Independiente** no es lo mismo que **incompatible** (que no pueden ocurrir a la vez): dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva nunca son independientes. ### Tabla de contingencia Organiza dos características a la vez. Las probabilidades condicionadas se leen dividiendo una casilla entre el total de su fila o de su columna. ### Teorema de la probabilidad total Si $A_1, \dots, A_n$ son sucesos incompatibles que cubren todas las posibilidades (una **partición**): $$ P(B) = \sum_{i} P(A_i)\,P(B \mid A_i) $$ En un árbol: se suman las probabilidades de todas las ramas que terminan en $B$. ### Teorema de Bayes Da la vuelta a la condición: de $P(B \mid A_i)$ (lo que se conoce) a $P(A_i \mid B)$ (lo que se quiere): $$ P(A_i \mid B) = \frac{P(A_i)\,P(B \mid A_i)}{\sum_j P(A_j)\,P(B \mid A_j)} $$ * $P(A_i)$: probabilidad **a priori**, antes de saber nada. * $P(A_i \mid B)$: probabilidad **a posteriori**, tras observar $B$. ### Pruebas diagnósticas | Término | Qué es | | - | - | | **Sensibilidad** | $P(+ \mid \text{enfermo})$: detecta a los enfermos | | **Especificidad** | $P(- \mid \text{sano})$: descarta a los sanos | | **Prevalencia** | $P(\text{enfermo})$ en la población | | **Valor predictivo positivo** | $P(\text{enfermo} \mid +)$: lo que le importa al paciente | Con una enfermedad rara, aunque la prueba sea muy buena, la mayoría de los positivos pueden ser **falsos positivos**. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Con una tabla de contingencia > > En una clase de 30: 12 chicas que hacen deporte, 6 chicas que no, 8 chicos que sí y 4 que no. > > | | Deporte | No deporte | Total | > | - | - | - | - | > | Chicas | 12 | 6 | 18 | > | Chicos | 8 | 4 | 12 | > | Total | 20 | 10 | 30 | > > $P(\text{deporte} \mid \text{chica}) = \frac{12}{18} = \frac23$ y $P(\text{deporte}) = \frac{20}{30} = \frac23$: **independientes**. > [accordion] Ejemplo 2 · Sin reemplazamiento > > Una urna tiene 5 bolas rojas y 3 azules. Se sacan dos sin devolver. ¿Probabilidad de que las dos sean rojas? > > $P(R_1 \cap R_2) = \frac58\cdot\frac47 = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \approx 0{,}357$. > [accordion] Ejemplo 3 · Probabilidad total > > Tres máquinas fabrican el 50 %, 30 % y 20 % de las piezas, con un 2 %, 3 % y 5 % de defectuosas. > > $P(D) = 0{,}5\cdot0{,}02 + 0{,}3\cdot0{,}03 + 0{,}2\cdot0{,}05 = 0{,}010 + 0{,}009 + 0{,}010 = 0{,}029$. > [accordion] Ejemplo 4 · Bayes: ¿de qué máquina viene? > > Con los datos anteriores, una pieza es defectuosa. ¿Probabilidad de que venga de la tercera máquina? > > $P(M_3 \mid D) = \frac{0{,}2\cdot0{,}05}{0{,}029} = \frac{0{,}010}{0{,}029} = 0{,}345$. > > Fabrica solo el 20 %, pero da el 34,5 % de las defectuosas. > [accordion] Ejemplo 5 · El test que engaña > > Una enfermedad afecta al 1 % de la población. Un test tiene un 99 % de sensibilidad y un 95 % de especificidad. Si da positivo, ¿probabilidad de estar enfermo? > > $P(+) = 0{,}01\cdot0{,}99 + 0{,}99\cdot0{,}05 = 0{,}0099 + 0{,}0495 = 0{,}0594$. > > $P(E \mid +) = \frac{0{,}0099}{0{,}0594} = 0{,}167$. **Solo un 16,7 %.** De cada 10 000 personas, 99 enfermas dan positivo, pero también 495 sanas. Por eso, tras un positivo en un cribado, se repite con una prueba más específica. > [accordion] Ejemplo 6 · Filtro de spam > > El 40 % del correo es spam. La palabra "gratis" aparece en el 30 % del spam y en el 2 % del correo normal. Un mensaje contiene "gratis": > > $P(S \mid g) = \frac{0{,}4\cdot0{,}3}{0{,}4\cdot0{,}3 + 0{,}6\cdot0{,}02} = \frac{0{,}12}{0{,}132} = 0{,}91$. > > Los filtros bayesianos combinan así muchas palabras a la vez. ## Errores frecuentes * **Confundir $P(A \mid B)$ con $P(B \mid A)$.** La probabilidad de dar positivo estando enfermo no es la de estar enfermo dando positivo. * **Confundir independientes con incompatibles.** * **Ignorar la probabilidad a priori** (la prevalencia). Es el error que hace que los falsos positivos sorprendan. * **Multiplicar probabilidades de sucesos dependientes** como si fueran independientes. * **Olvidar alguna rama** al aplicar la probabilidad total. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Qué es el problema de Monty Hall? > > Hay tres puertas, un coche detrás de una y cabras en las otras. Eliges una, el presentador (que sabe dónde está el coche) abre otra con una cabra y te ofrece cambiar. Cambiar gana con probabilidad $\frac23$, no $\frac12$: tu elección inicial acierta solo $\frac13$ de las veces, y el presentador no abre puertas al azar. > [accordion] ¿Qué es la estadística bayesiana? > > Un enfoque en el que los parámetros desconocidos se tratan como variables con una distribución a priori, que se actualiza con los datos mediante el teorema de Bayes. Se usa en aprendizaje automático, medicina, meteorología y en cualquier problema donde se combine información previa con datos nuevos. ## Temas relacionados > [card] [Combinatoria](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/combinatoria.md) > > Contar casos favorables y posibles. > [card] [Distribuciones discretas](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/distribuciones-discretas.md) > > Binomial y Poisson. > [card] [Contraste de hipótesis](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/contraste-hipotesis.md) > > Errores de tipo I y II. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.