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# Tablero de Galton: distribución binomial y campana de Gauss

> El tablero de Galton explicado: distribución binomial B(n, p), números combinatorios, media np y varianza np(1−p), y cómo la binomial se aproxima a la normal (teorema central del límite).

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/matematicas/probabilidad">
  Suelta bolas entre clavos y mira cómo el azar forma la binomial y la campana de Gauss.
</Card>

Una bola cae por un tablero lleno de clavos. En cada clavo rebota a la izquierda o a la derecha, al azar. Es imposible saber dónde acabará una bola. Pero si sueltas mil, siempre forman la misma figura: una **campana**. Francis Galton construyó este tablero en 1873 para mostrar cómo el azar individual produce orden colectivo.

## Lo que vas a aprender

* Qué es un experimento de Bernoulli y la distribución binomial.
* Calcular probabilidades binomiales con números combinatorios.
* La media y la varianza de una binomial.
* Por qué la binomial se parece a una normal cuando $n$ es grande.

## Cómo se usa el simulador

* **Soltar bolas**: 1, 100, **+1000 al instante** o **▶ Lluvia continua**. **↺ Vaciar** limpia el tablero.

| Control | Qué hace | Rango |
| - | - | - |
| **n · filas de clavos** | Número de rebotes de cada bola | 2 – 16 |
| **p · probabilidad de ir a la derecha** | Sesgo del tablero | 0,05 – 0,95 |
| **Velocidad** | Rapidez de la animación | ×1 – ×12 |

* Las barras son lo **observado**; los puntos, la **binomial** teórica; la línea, la **normal** aproximada.
* El panel compara la media y la varianza observadas con las teóricas $np$ y $np(1 - p)$.

## Fundamentos teóricos

### Experimento de Bernoulli

Un experimento con dos resultados: éxito (ir a la derecha) con probabilidad $p$, fracaso con $1 - p$.

### Distribución binomial

Si se repite $n$ veces de forma independiente, el número de éxitos $X$ sigue una **binomial** $B(n, p)$:

$$
P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1 - p)^{n - k}
$$

$\binom{n}{k}$ cuenta **cuántos caminos** distintos llevan a la casilla $k$. Hay muchísimos más caminos hacia el centro que hacia los extremos: por eso las bolas se acumulan en medio.

### Media y varianza

$$
\mu = n\,p \qquad \sigma^2 = n\,p\,(1 - p)
$$

### El triángulo de Pascal

El número de caminos hasta cada clavo es un número del **triángulo de Pascal**: cada uno es la suma de los dos de arriba.

### Aproximación a la normal

Cuando $n$ es grande (en la práctica, $np > 5$ y $n(1 - p) > 5$), la binomial se parece mucho a una normal:

$$
B(n, p) \approx N\big(np,\ \sqrt{np(1 - p)}\big)
$$

Es un caso del **teorema central del límite**: la suma de muchas variables independientes tiende a una normal.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · La casilla central" defaultOpen>
    Con 10 filas y $p = 0{,}5$, ¿qué probabilidad hay de caer en la casilla 5?

    $P(X = 5) = \binom{10}{5}\,0{,}5^{10} = 252/1024 = 0{,}246$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Un extremo">
    ¿Y en la casilla 0? $P(X = 0) = 0{,}5^{10} = 1/1024 \approx 0{,}001$. Solo hay un camino: siempre a la izquierda.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Media y varianza">
    Con $n = 10$ y $p = 0{,}5$: $\mu = 5$, $\sigma^2 = 2{,}5$, $\sigma = 1{,}58$. Con $p = 0{,}3$: $\mu = 3$, $\sigma^2 = 2{,}1$.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="Una bola, mil bolas">
    Suelta una bola varias veces y luego mil de golpe. ¿Qué es predecible y qué no?
  </Step>

  <Step title="Tablero sesgado">
    Cambia p a 0,2. ¿Hacia dónde se mueve la campana? ¿Sigue siendo simétrica?
  </Step>

  <Step title="Más filas">
    Pasa de 4 a 16 filas. ¿Se parece más la binomial a la línea de la normal?
  </Step>

  <Step title="Ley de los grandes números">
    Compara la media observada con $np$ tras 100 y tras 5000 bolas.
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Olvidar el número combinatorio**: $P(X = 5) \ne 0{,}5^{10}$.
* **Usar la normal con $n$ pequeño** o $p$ extremo.
* **Confundir $\sigma$ con $\sigma^2$** al pasar a la normal.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Combinatoria" icon="calculator" href="/matematicas/estadistica/combinatoria">
    Contar caminos.
  </Card>

  <Card title="Distribución normal" icon="bell" href="/matematicas/estadistica/distribucion-normal">
    Calcular con la campana.
  </Card>

  <Card title="Estimar π" icon="bullseye" href="/matematicas/estadistica/estimacion-pi">
    Otro experimento con azar.
  </Card>
</CardGroup>


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