> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Regresión lineal y correlación: covarianza, r y recta de regresión > Regresión lineal paso a paso: nube de puntos, covarianza, coeficiente de correlación de Pearson, rectas de regresión de y sobre x y de x sobre y, coeficiente de determinación y predicciones. Nube de puntos, rectas de regresión y coeficiente de correlación, con predicciones. ¿Sacan mejor nota quienes estudian más horas? ¿Se venden más helados cuando hace más calor? Cuando se miden dos variables en los mismos individuos, la **nube de puntos** muestra si hay relación, el **coeficiente de correlación** dice cuánto de fuerte es, y la **recta de regresión** permite predecir una a partir de la otra. ## Lo que vas a aprender * Interpretar una nube de puntos. * Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación de Pearson. * Obtener las dos rectas de regresión. * Hacer predicciones y saber cuándo fiarse de ellas. ## Cómo se usa la herramienta 1. Escribe los puntos (un par `x y` por línea o separados por punto y coma) y pulsa **Calcular**, o **toca el gráfico** para añadir puntos y toca un punto para quitarlo. 2. Los botones cargan ejemplos: horas de estudio y nota, temperatura y helados, precio y ventas, o datos sin relación. 3. Verás la recta de **y sobre x** (y, si quieres, la de **x sobre y**), el centro de gravedad $(\bar x, \bar y)$, $r$, $r^2$, la covarianza, la pendiente, medias y desviaciones, y la interpretación de la correlación. 4. En **Predicción**, escribe un valor de $x$ y obtienes $\hat y$, con un aviso si es una extrapolación. ## Fundamentos teóricos ### Covarianza $$ \sigma_{xy} = \frac{\sum x_i y_i}{n} - \bar x\,\bar y $$ * Positiva: cuando $x$ crece, $y$ tiende a crecer. * Negativa: cuando $x$ crece, $y$ tiende a decrecer. * Cerca de 0: no hay relación lineal. ### Coeficiente de correlación de Pearson $$ r = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y} \qquad -1 \le r \le 1 $$ | $\lvert r\rvert$ | Correlación | | - | - | | 0 – 0,3 | Muy débil o nula | | 0,3 – 0,7 | Moderada | | 0,7 – 0,9 | Fuerte | | 0,9 – 1 | Muy fuerte | El signo de $r$ es el de la covarianza. $r = \pm 1$: todos los puntos en una recta. ### Recta de regresión de y sobre x Es la recta que hace mínima la suma de los cuadrados de las distancias **verticales** (residuos): $$ y - \bar y = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\,(x - \bar x) $$ Sirve para **predecir $y$ conociendo $x$**. La de $x$ sobre $y$ ($x - \bar x = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}(y - \bar y)$) sirve para lo contrario. Las dos pasan por $(\bar x, \bar y)$, y cuanto mayor es $|r|$, más se parecen. ### Coeficiente de determinación $r^2$ es la proporción de la variación de $y$ que explica la recta. Con $r = 0{,}9$, $r^2 = 81\,\%$. ### ¿Cuándo fiarse de una predicción? * Si $|r|$ es alto. * Si el valor de $x$ está **dentro del rango** de los datos (interpolación). Fuera (extrapolación), nada garantiza que la tendencia siga. ## Ejemplos resueltos $(1, 2)$, $(2, 3)$, $(3, 5)$, $(4, 6)$. $\bar x = 2{,}5$; $\bar y = 4$; $\sigma_x^2 = 30/4 - 6{,}25 = 1{,}25$; $\sigma_y^2 = 74/4 - 16 = 2{,}5$; $\sigma_{xy} = 47/4 - 10 = 1{,}75$. $r = 1{,}75/\sqrt{1{,}25 \cdot 2{,}5} = 0{,}99$. Pendiente $1{,}75/1{,}25 = 1{,}4$: $y = 0{,}5 + 1{,}4x$. Con la recta anterior, para $x = 3{,}5$: $\hat y = 0{,}5 + 1{,}4 \cdot 3{,}5 = 5{,}4$. Es una interpolación fiable ($r = 0{,}99$). ## Errores frecuentes * **Confundir correlación con causalidad.** Que dos cosas crezcan juntas no significa que una cause la otra. * **Usar la recta de y sobre x para predecir x.** * **Extrapolar** muy lejos del rango de los datos. * **Pensar que $r = 0$ significa "no hay relación".** Significa que no hay relación **lineal**; puede haber otra. ## Herramientas relacionadas Una variable. Rectas y otras funciones. Ajustar el coste de un algoritmo. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.