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# Fórmulas trigonométricas: identidades, ángulo doble, suma y transformaciones

> Formulario de trigonometría: razones de ángulos notables, identidad fundamental, ángulos complementarios, suplementarios y opuestos, fórmulas de suma y resta, ángulo doble y mitad, transformación de sumas en productos, teoremas del seno y del coseno, y fórmulas de Euler, con ejemplos.

Este formulario reúne las identidades trigonométricas que se usan en bachillerato y en la universidad: para simplificar expresiones, resolver ecuaciones, calcular integrales y trabajar con señales y ondas. Para ver de dónde salen las razones en la circunferencia unidad, usa el simulador de la [circunferencia unitaria](https://apuntes.simulab.es/matematicas/trigonometria/circunferencia-unitaria.md).

## Ángulos notables

| Ángulo | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| Radianes | 0 | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ |
| $\operatorname{sen}$ | 0 | $\frac12$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | 1 | 0 | −1 |
| $\cos$ | 1 | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac12$ | 0 | −1 | 0 |
| $\tan$ | 0 | $\frac{\sqrt3}{3}$ | 1 | $\sqrt3$ | — | 0 | — |

Truco: los senos de 0°, 30°, 45°, 60° y 90° son $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}$.

## Identidades fundamentales

$$
\operatorname{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \qquad \tan\alpha = \frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}
$$

$$
1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} = \sec^2\alpha \qquad 1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\operatorname{sen}^2\alpha} = \csc^2\alpha
$$

## Signos por cuadrantes

| Cuadrante | Ángulo | $\operatorname{sen}$ | $\cos$ | $\tan$ |
| - | - | - | - | - |
| I | 0° a 90° | + | + | + |
| II | 90° a 180° | + | − | − |
| III | 180° a 270° | − | − | + |
| IV | 270° a 360° | − | + | − |

## Ángulos relacionados

| Relación | $\operatorname{sen}$ | $\cos$ | $\tan$ |
| - | - | - | - |
| Opuestos ($-\alpha$) | $-\operatorname{sen}\alpha$ | $\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ |
| Complementarios ($90° - \alpha$) | $\cos\alpha$ | $\operatorname{sen}\alpha$ | $\cot\alpha$ |
| Suplementarios ($180° - \alpha$) | $\operatorname{sen}\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ |
| Difieren en 180° ($180° + \alpha$) | $-\operatorname{sen}\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $\tan\alpha$ |
| Suman 360° ($360° - \alpha$) | $-\operatorname{sen}\alpha$ | $\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ |

## Suma y resta de ángulos

$$
\operatorname{sen}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sen}\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\operatorname{sen}\beta
$$

$$
\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta
$$

$$
\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}
$$

## Ángulo doble

$$
\operatorname{sen}2\alpha = 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha \qquad \tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}
$$

$$
\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\operatorname{sen}^2\alpha
$$

De ahí salen las fórmulas de **reducción de potencias**, muy usadas en integrales:

$$
\operatorname{sen}^2\alpha = \frac{1 - \cos2\alpha}{2} \qquad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos2\alpha}{2}
$$

## Ángulo mitad

$$
\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} \qquad \cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} \qquad \tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\operatorname{sen}\alpha}{1 + \cos\alpha}
$$

El signo depende del cuadrante de $\frac{\alpha}{2}$.

## Transformar sumas en productos

$$
\operatorname{sen}A + \operatorname{sen}B = 2\operatorname{sen}\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2}
\qquad
\operatorname{sen}A - \operatorname{sen}B = 2\cos\frac{A + B}{2}\operatorname{sen}\frac{A - B}{2}
$$

$$
\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2}
\qquad
\cos A - \cos B = -2\operatorname{sen}\frac{A + B}{2}\operatorname{sen}\frac{A - B}{2}
$$

Explican los **batidos** de dos ondas de frecuencias parecidas: la suma es una onda rápida modulada por una lenta.

## Productos en sumas

$$
\operatorname{sen}A\cos B = \tfrac12\big[\operatorname{sen}(A + B) + \operatorname{sen}(A - B)\big]
$$

$$
\cos A\cos B = \tfrac12\big[\cos(A - B) + \cos(A + B)\big] \qquad \operatorname{sen}A\operatorname{sen}B = \tfrac12\big[\cos(A - B) - \cos(A + B)\big]
$$

## Triángulos cualesquiera

Con lados $a, b, c$ opuestos a los ángulos $A, B, C$:

| Teorema | Fórmula |
| - | - |
| Del seno | $\frac{a}{\operatorname{sen}A} = \frac{b}{\operatorname{sen}B} = \frac{c}{\operatorname{sen}C} = 2R$ |
| Del coseno | $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ |
| Área | $S = \frac12\,ab\operatorname{sen}C$ |

$R$ es el radio de la circunferencia circunscrita. Puedes practicarlos en [resolución de triángulos](https://apuntes.simulab.es/matematicas/trigonometria/triangulos.md).

## Fórmulas de Euler

$$
e^{i\theta} = \cos\theta + i\operatorname{sen}\theta \qquad \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \qquad \operatorname{sen}\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}
$$

Con ellas, todas las fórmulas anteriores se deducen con álgebra de [números complejos](https://apuntes.simulab.es/matematicas/numeros/numeros-complejos.md).

## Ejemplos

> [accordion] Ejemplo 1 · Seno de 75°
>
> $\operatorname{sen}75° = \operatorname{sen}(45° + 30°) = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0{,}966$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Calcular el resto de razones
>
> Si $\operatorname{sen}\alpha = \frac35$ con $\alpha$ en el segundo cuadrante: $\cos\alpha = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac45$ y $\tan\alpha = -\frac34$.
>
> $\operatorname{sen}2\alpha = 2\cdot\frac35\cdot\left(-\frac45\right) = -\frac{24}{25}$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Resolver una ecuación
>
> $\cos2x = \cos x$ en $[0, 2\pi)$: $2\cos^2x - 1 = \cos x \Rightarrow 2\cos^2x - \cos x - 1 = 0$.
>
> $\cos x = 1$ o $\cos x = -\frac12$: $x = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$, $x = \frac{4\pi}{3}$.

> [accordion] Ejemplo 4 · Batidos
>
> $\operatorname{sen}(2\pi\cdot440t) + \operatorname{sen}(2\pi\cdot444t) = 2\operatorname{sen}(2\pi\cdot442t)\cos(2\pi\cdot2t)$.
>
> Se oye un la de 442 Hz cuyo volumen sube y baja 4 veces por segundo: así se afina una guitarra de oído.

## Temas relacionados

> [card] [Circunferencia unitaria](https://apuntes.simulab.es/matematicas/trigonometria/circunferencia-unitaria.md)
>
> Seno, coseno y tangente en la circunferencia.

> [card] [Resolución de triángulos](https://apuntes.simulab.es/matematicas/trigonometria/triangulos.md)
>
> Teoremas del seno y del coseno.

> [card] [Series de Fourier](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/series-fourier.md)
>
> Señales como sumas de senos.


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