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# Tabla de derivadas: derivadas inmediatas, reglas de derivación y regla de la cadena

> Tabla de derivadas completa: derivadas de funciones elementales (potencias, raíces, exponenciales, logaritmos, trigonométricas, inversas e hiperbólicas), reglas de la suma, producto, cociente y cadena, derivación logarítmica e implícita, con la forma compuesta de cada derivada y ejemplos.

Esta tabla reúne todas las derivadas que hay que saber de memoria, en su forma simple y en su forma **compuesta** (con la regla de la cadena ya aplicada), junto con las reglas de derivación. Para ver cada paso aplicado a una función concreta, usa el simulador de [derivadas paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/derivadas.md).

## Reglas de derivación

| Regla | Fórmula |
| - | - |
| Constante | $(k)' = 0$ |
| Constante por función | $(k\,f)' = k\,f'$ |
| Suma y resta | $(f \pm g)' = f' \pm g'$ |
| **Producto** | $(f\,g)' = f'\,g + f\,g'$ |
| **Cociente** | $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'\,g - f\,g'}{g^2}$ |
| **Cadena** | $\big(f(g(x))\big)' = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)$ |
| Función inversa | $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$, con $y = f(x)$ |

## Potencias y raíces

En la columna compuesta, $u = u(x)$ es cualquier función y $u'$ su derivada.

| Función | Derivada | Forma compuesta |
| - | - | - |
| $x^n$ | $n\,x^{n-1}$ | $(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt x}$ | $(\sqrt u)' = \frac{u'}{2\sqrt u}$ |
| $\sqrt[n]{x}$ | $\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ | $(\sqrt[n]u)' = \frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$ |
| $\frac1x$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $\left(\frac1u\right)' = -\frac{u'}{u^2}$ |

## Exponenciales y logaritmos

| Función | Derivada | Forma compuesta |
| - | - | - |
| $e^x$ | $e^x$ | $(e^u)' = e^u\,u'$ |
| $a^x$ | $a^x\ln a$ | $(a^u)' = a^u\ln a\cdot u'$ |
| $\ln x$ | $\frac1x$ | $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ |
| $\log_a x$ | $\frac{1}{x\ln a}$ | $(\log_a u)' = \frac{u'}{u\ln a}$ |

## Trigonométricas

| Función | Derivada | Forma compuesta |
| - | - | - |
| $\operatorname{sen} x$ | $\cos x$ | $(\operatorname{sen} u)' = \cos u\cdot u'$ |
| $\cos x$ | $-\operatorname{sen} x$ | $(\cos u)' = -\operatorname{sen} u\cdot u'$ |
| $\tan x$ | $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ | $(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$ |
| $\cot x$ | $-\frac{1}{\operatorname{sen}^2 x}$ | $(\cot u)' = -\frac{u'}{\operatorname{sen}^2 u}$ |
| $\sec x$ | $\sec x\tan x$ | $(\sec u)' = \sec u\tan u\cdot u'$ |
| $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ | $(\csc u)' = -\csc u\cot u\cdot u'$ |

## Trigonométricas inversas

| Función | Derivada | Forma compuesta |
| - | - | - |
| $\operatorname{arcsen} x$ | $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | $\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$ |
| $\arccos x$ | $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | $-\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$ |
| $\arctan x$ | $\frac{1}{1 + x^2}$ | $\frac{u'}{1 + u^2}$ |
| $\operatorname{arccot} x$ | $-\frac{1}{1 + x^2}$ | $-\frac{u'}{1 + u^2}$ |

## Hiperbólicas

| Función | Derivada |
| - | - |
| $\operatorname{senh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ | $\operatorname{senh} x$ |
| $\tanh x$ | $\frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x$ |

## Técnicas especiales

### Derivación logarítmica

Para funciones del tipo $y = f(x)^{g(x)}$, se toma logaritmo y se deriva:

$$
\ln y = g\ln f \;\Rightarrow\; \frac{y'}{y} = g'\ln f + g\frac{f'}{f} \;\Rightarrow\; y' = f^g\left(g'\ln f + \frac{g\,f'}{f}\right)
$$

### Derivación implícita

Si $F(x, y) = 0$, se deriva todo respecto de $x$ tratando $y$ como función de $x$ (cada vez que se deriva $y$ aparece $y'$) y se despeja $y'$.

## Ejemplos

> [accordion] Ejemplo 1 · Regla de la cadena
>
> $y = \operatorname{sen}(3x^2 + 1)$: $y' = \cos(3x^2 + 1)\cdot6x$.
>
> $y = e^{\cos x}$: $y' = e^{\cos x}\cdot(-\operatorname{sen} x)$.
>
> $y = \ln(x^2 + 4)$: $y' = \frac{2x}{x^2 + 4}$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Producto y cociente
>
> $y = x^2 e^x$: $y' = 2x\,e^x + x^2e^x = x(x + 2)e^x$.
>
> $y = \frac{x}{x^2 + 1}$: $y' = \frac{(x^2 + 1) - x\cdot2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Cadena dos veces
>
> $y = \sqrt{\operatorname{sen}(2x)}$: $y' = \frac{1}{2\sqrt{\operatorname{sen} 2x}}\cdot\cos 2x\cdot2 = \frac{\cos 2x}{\sqrt{\operatorname{sen} 2x}}$.

> [accordion] Ejemplo 4 · Derivación logarítmica
>
> $y = x^x$: $\ln y = x\ln x$, $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$, $y' = x^x(\ln x + 1)$.

> [accordion] Ejemplo 5 · Derivación implícita
>
> $x^2 + y^2 = 25$: $2x + 2y\,y' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}$. En $(3, 4)$: $y' = -\frac34$.

## Errores frecuentes

* **Olvidar la regla de la cadena:** $(\operatorname{sen} 2x)' = 2\cos 2x$, no $\cos 2x$.
* **Restar al revés en el cociente:** es $f'g - fg'$, con el numerador derivado primero.
* **Derivar $x^x$ como una potencia** ($x\cdot x^{x-1}$) o como una exponencial ($x^x\ln x$). Hace falta derivación logarítmica.
* **Confundir el signo** de la derivada del coseno: $(\cos x)' = -\operatorname{sen} x$.

## Temas relacionados

> [card] [Derivadas paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/derivadas.md)
>
> Deriva cualquier función con cada regla explicada.

> [card] [Tabla de integrales](https://apuntes.simulab.es/matematicas/formularios/tabla-integrales.md)
>
> El camino inverso.

> [card] [Derivadas parciales](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/derivadas-parciales.md)
>
> Derivar en varias variables.


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