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# Tabla de integrales: integrales inmediatas y métodos de integración

> Tabla de integrales inmediatas completa: potencias, logaritmos, exponenciales, trigonométricas, arcotangente y arcoseno, en forma simple y compuesta, más integrales racionales, de raíces y trigonométricas habituales, propiedades de la integral definida y guía para elegir método (cambio de variable, partes, fracciones simples).

Esta tabla reúne las **integrales inmediatas** en forma simple y en forma **compuesta** (cuando el integrando incluye la derivada de una función interior), las integrales habituales que conviene tener a mano y una guía para elegir el método cuando no es inmediata. Para ver la resolución de una integral concreta paso a paso, usa el simulador de [integrales paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/integrales.md).

Todas las primitivas llevan una constante $+C$, que se omite en las tablas.

## Inmediatas

En la columna compuesta, $u = u(x)$ y $u'$ es su derivada.

| Simple | Compuesta |
| - | - |
| $\int k\,dx = kx$ | |
| $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ ($n \ne -1$) | $\int u^n u'\,dx = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ |
| $\int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert$ | $\int\frac{u'}{u}\,dx = \ln\lvert u\rvert$ |
| $\int e^x\,dx = e^x$ | $\int e^u u'\,dx = e^u$ |
| $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a}$ | $\int a^u u'\,dx = \frac{a^u}{\ln a}$ |
| $\int\operatorname{sen} x\,dx = -\cos x$ | $\int\operatorname{sen} u\cdot u'\,dx = -\cos u$ |
| $\int\cos x\,dx = \operatorname{sen} x$ | $\int\cos u\cdot u'\,dx = \operatorname{sen} u$ |
| $\int\frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x$ | $\int\frac{u'}{\cos^2 u}\,dx = \tan u$ |
| $\int\frac{dx}{\operatorname{sen}^2 x} = -\cot x$ | $\int\frac{u'}{\operatorname{sen}^2 u}\,dx = -\cot u$ |
| $\int\frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x$ | $\int\frac{u'}{1 + u^2}\,dx = \arctan u$ |
| $\int\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \operatorname{arcsen} x$ | $\int\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}\,dx = \operatorname{arcsen} u$ |

## Con un parámetro a

| Integral | Resultado |
| - | - |
| $\int\frac{dx}{a^2 + x^2}$ | $\frac1a\arctan\frac{x}{a}$ |
| $\int\frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ | $\operatorname{arcsen}\frac{x}{a}$ |
| $\int\frac{dx}{x^2 - a^2}$ | $\frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert$ |
| $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$ | $\ln\left\lvert x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right\rvert$ |
| $\int\sqrt{a^2 - x^2}\,dx$ | $\frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\operatorname{arcsen}\frac{x}{a}$ |
| $\int e^{ax}\,dx$ | $\frac{e^{ax}}{a}$ |
| $\int\operatorname{sen}(ax)\,dx$ | $-\frac{\cos ax}{a}$ |

## Otras integrales habituales

| Integral | Resultado |
| - | - |
| $\int\tan x\,dx$ | $-\ln\lvert\cos x\rvert$ |
| $\int\cot x\,dx$ | $\ln\lvert\operatorname{sen} x\rvert$ |
| $\int\sec x\,dx$ | $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert$ |
| $\int\ln x\,dx$ | $x\ln x - x$ |
| $\int x\,e^x\,dx$ | $(x - 1)e^x$ |
| $\int\operatorname{sen}^2 x\,dx$ | $\frac{x}{2} - \frac{\operatorname{sen} 2x}{4}$ |
| $\int\cos^2 x\,dx$ | $\frac{x}{2} + \frac{\operatorname{sen} 2x}{4}$ |
| $\int e^{ax}\operatorname{sen}(bx)\,dx$ | $\frac{e^{ax}\big(a\operatorname{sen} bx - b\cos bx\big)}{a^2 + b^2}$ |
| $\int e^{ax}\cos(bx)\,dx$ | $\frac{e^{ax}\big(a\cos bx + b\operatorname{sen} bx\big)}{a^2 + b^2}$ |

Las de $\operatorname{sen}^2$ y $\cos^2$ salen de las [fórmulas del ángulo doble](https://apuntes.simulab.es/matematicas/formularios/formulas-trigonometricas.md).

## Integral definida

**Regla de Barrow:** si $F$ es una primitiva de $f$,

$$
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
$$

| Propiedad | Fórmula |
| - | - |
| Intercambiar límites | $\int_a^b f = -\int_b^a f$ |
| Aditividad | $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$ |
| Función impar en intervalo simétrico | $\int_{-a}^{a} f = 0$ |
| Función par en intervalo simétrico | $\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f$ |
| Valor medio | $\bar f = \frac{1}{b - a}\int_a^b f$ |

## Cómo elegir el método

| Si el integrando es… | Método |
| - | - |
| Una función compuesta con su derivada | Inmediata o [cambio de variable](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/cambio-de-variable.md) |
| Producto de funciones de tipos distintos ($x\,e^x$, $x\ln x$) | [Por partes](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/integracion-por-partes.md) |
| Cociente de polinomios | División (si el grado de arriba es mayor o igual) y **fracciones simples** |
| Potencias de seno y coseno | Identidades trigonométricas o cambio $t = \operatorname{sen} x$, $t = \cos x$ |
| Raíces de $a^2 \pm x^2$ | Cambio trigonométrico |
| Nada de lo anterior | Puede no tener primitiva elemental: [integración numérica](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/integracion-numerica.md) |

### Fracciones simples

Para $\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx$ con grado de $P$ menor que el de $Q$, se factoriza $Q$:

| Factor de $Q$ | Fracciones | Integral |
| - | - | - |
| $(x - a)$ | $\frac{A}{x - a}$ | $A\ln\lvert x - a\rvert$ |
| $(x - a)^n$ | $\frac{A_1}{x - a} + \cdots + \frac{A_n}{(x - a)^n}$ | Logaritmo y potencias |
| $x^2 + bx + c$ sin raíces | $\frac{Mx + N}{x^2 + bx + c}$ | Logaritmo y arcotangente |

## Ejemplos

> [accordion] Ejemplo 1 · Inmediata compuesta
>
> $\int\frac{2x}{x^2 + 3}dx = \ln(x^2 + 3) + C$: el numerador es la derivada del denominador.

> [accordion] Ejemplo 2 · Arcotangente con parámetro
>
> $\int\frac{dx}{x^2 + 9} = \frac13\arctan\frac{x}{3} + C$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Fracciones simples
>
> $\int\frac{dx}{x^2 - 1} = \int\left(\frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}\right)dx = \frac12\ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C$.

> [accordion] Ejemplo 4 · Barrow
>
> $\int_0^\pi\operatorname{sen} x\,dx = [-\cos x]_0^\pi = 1 + 1 = 2$.

## Errores frecuentes

* **Aplicar $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ con $n = -1$.** $\int\frac{dx}{x} = \ln|x|$.
* **Olvidar el valor absoluto** en los logaritmos.
* **Integrar una compuesta sin que esté la derivada interior.** $\int e^{x^2}dx$ no es $\frac{e^{x^2}}{2x}$; de hecho no tiene primitiva elemental.
* **Olvidar la constante $+C$** en las indefinidas.

## Temas relacionados

> [card] [Integrales paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/integrales.md)
>
> Resuelve integrales con cada paso.

> [card] [Tabla de derivadas](https://apuntes.simulab.es/matematicas/formularios/tabla-derivadas.md)
>
> Las derivadas que hay detrás.

> [card] [Integración por partes](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/integracion-por-partes.md)
>
> Para productos de funciones.


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