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# Tabla de transformadas de Laplace: pares y propiedades

> Tabla completa de transformadas de Laplace: funciones elementales, exponenciales, senos y cosenos amortiguados, potencias, escalón, delta de Dirac, rampa y funciones hiperbólicas, más todas las propiedades (derivada, integral, desplazamientos, convolución, valor inicial y final) y las inversas más usadas.

Tabla de consulta de la transformada de Laplace unilateral, $F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt$, con todas las funciones $f(t)$ definidas para $t \ge 0$. La explicación del método, la resolución de ecuaciones diferenciales y los ejemplos están en el tema de la [transformada de Laplace](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-laplace.md).

## Funciones elementales

| $f(t)$ | $F(s)$ | Convergencia |
| - | - | - |
| $\delta(t)$ (delta de Dirac) | $1$ | Todo $s$ |
| $u(t)$ (escalón) o $1$ | $\frac1s$ | $s > 0$ |
| $t$ (rampa) | $\frac{1}{s^2}$ | $s > 0$ |
| $t^n$ | $\frac{n!}{s^{n+1}}$ | $s > 0$ |
| $t^{a}$ ($a > -1$) | $\frac{\Gamma(a + 1)}{s^{a+1}}$ | $s > 0$ |
| $\sqrt t$ | $\frac{\sqrt\pi}{2\,s^{3/2}}$ | $s > 0$ |
| $e^{at}$ | $\frac{1}{s - a}$ | $s > a$ |
| $t\,e^{at}$ | $\frac{1}{(s - a)^2}$ | $s > a$ |
| $t^n e^{at}$ | $\frac{n!}{(s - a)^{n+1}}$ | $s > a$ |

## Trigonométricas e hiperbólicas

| $f(t)$ | $F(s)$ |
| - | - |
| $\operatorname{sen}\omega t$ | $\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ |
| $\cos\omega t$ | $\frac{s}{s^2 + \omega^2}$ |
| $e^{at}\operatorname{sen}\omega t$ | $\frac{\omega}{(s - a)^2 + \omega^2}$ |
| $e^{at}\cos\omega t$ | $\frac{s - a}{(s - a)^2 + \omega^2}$ |
| $t\operatorname{sen}\omega t$ | $\frac{2\omega s}{(s^2 + \omega^2)^2}$ |
| $t\cos\omega t$ | $\frac{s^2 - \omega^2}{(s^2 + \omega^2)^2}$ |
| $\operatorname{sen}(\omega t + \varphi)$ | $\frac{s\operatorname{sen}\varphi + \omega\cos\varphi}{s^2 + \omega^2}$ |
| $\operatorname{senh} at$ | $\frac{a}{s^2 - a^2}$ |
| $\cosh at$ | $\frac{s}{s^2 - a^2}$ |

## Funciones de control y señales

| $f(t)$ | $F(s)$ |
| - | - |
| $u(t - a)$ (escalón retrasado) | $\frac{e^{-as}}{s}$ |
| $\delta(t - a)$ | $e^{-as}$ |
| Pulso: 1 entre $a$ y $b$ | $\frac{e^{-as} - e^{-bs}}{s}$ |
| $1 - e^{-t/\tau}$ (primer orden) | $\frac{1}{s(\tau s + 1)}$ |
| $\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}$ | $\frac{1}{\tau s + 1}$ |
| $\frac{e^{at} - e^{bt}}{a - b}$ | $\frac{1}{(s - a)(s - b)}$ |
| Respuesta al impulso de segundo orden, $\zeta < 1$: $\frac{\omega_n}{\sqrt{1 - \zeta^2}}e^{-\zeta\omega_n t}\operatorname{sen}(\omega_d t)$ | $\frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$ |

Con $\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}$. Se usa en [sistemas de control](https://apuntes.simulab.es/electronica/control/funcion-transferencia.md).

## Propiedades

| Propiedad | $f(t)$ | $F(s)$ |
| - | - | - |
| Linealidad | $a\,f(t) + b\,g(t)$ | $a\,F(s) + b\,G(s)$ |
| Derivada | $f'(t)$ | $sF(s) - f(0)$ |
| Derivada segunda | $f''(t)$ | $s^2F(s) - s\,f(0) - f'(0)$ |
| Derivada $n$-ésima | $f^{(n)}(t)$ | $s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$ |
| Integral | $\int_0^t f(\tau)\,d\tau$ | $\frac{F(s)}{s}$ |
| Desplazamiento en $s$ | $e^{at}f(t)$ | $F(s - a)$ |
| Desplazamiento en $t$ | $f(t - a)\,u(t - a)$ | $e^{-as}F(s)$ |
| Escalado | $f(at)$ | $\frac1a F\!\left(\frac{s}{a}\right)$ |
| Multiplicar por $t$ | $t\,f(t)$ | $-F'(s)$ |
| Multiplicar por $t^n$ | $t^n f(t)$ | $(-1)^n F^{(n)}(s)$ |
| Dividir por $t$ | $\frac{f(t)}{t}$ | $\int_s^\infty F(\sigma)\,d\sigma$ |
| Convolución | $(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau$ | $F(s)\,G(s)$ |
| Función periódica de periodo $T$ | $f(t + T) = f(t)$ | $\frac{1}{1 - e^{-sT}}\int_0^T f(t)e^{-st}dt$ |

## Teoremas del valor inicial y final

$$
f(0^+) = \lim_{s\to\infty} s\,F(s) \qquad \lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to0} s\,F(s)
$$

El del valor final solo vale si $f(t)$ tiene límite: todos los polos de $sF(s)$ con parte real negativa.

## Inversas habituales

| $F(s)$ | $f(t)$ |
| - | - |
| $\frac{1}{s(s + a)}$ | $\frac{1}{a}\left(1 - e^{-at}\right)$ |
| $\frac{1}{s^2(s + a)}$ | $\frac{1}{a^2}\left(at - 1 + e^{-at}\right)$ |
| $\frac{1}{(s + a)(s + b)}$ | $\frac{e^{-at} - e^{-bt}}{b - a}$ |
| $\frac{s}{(s + a)(s + b)}$ | $\frac{b\,e^{-bt} - a\,e^{-at}}{b - a}$ |
| $\frac{1}{s(s^2 + \omega^2)}$ | $\frac{1 - \cos\omega t}{\omega^2}$ |
| $\frac{1}{(s^2 + \omega^2)^2}$ | $\frac{\operatorname{sen}\omega t - \omega t\cos\omega t}{2\omega^3}$ |

Para cocientes que no estén en la tabla: fracciones simples y completar cuadrados.

## Temas relacionados

> [card] [Transformada de Laplace](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-laplace.md)
>
> El método y ejemplos resueltos.

> [card] [Función de transferencia](https://apuntes.simulab.es/electronica/control/funcion-transferencia.md)
>
> Laplace en sistemas de control.

> [card] [EDO de segundo orden](https://apuntes.simulab.es/matematicas/modelos/edo-segundo-orden.md)
>
> Las ecuaciones que se resuelven con la tabla.


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