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# Tabla t de Student: valores críticos y cómo leerla

> Tabla de la distribución t de Student con valores críticos para 1 a 120 grados de libertad y niveles de confianza del 80 %, 90 %, 95 %, 98 %, 99 % y 99,9 %, para contrastes de una y dos colas, con la comparación con la normal, cómo se lee y ejemplos de intervalos de confianza y contrastes.

La **t de Student** se usa en lugar de la normal cuando se estima una media con una muestra pequeña y la desviación típica de la población es **desconocida**. Esta tabla da los **valores críticos** $t_{\alpha,\nu}$: el valor que deja una probabilidad $\alpha$ en la cola derecha con $\nu$ grados de libertad. La teoría está en [intervalos de confianza](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/intervalos-confianza.md) y [contraste de hipótesis](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/contraste-hipotesis.md).

## Cómo se lee

1. **Grados de libertad**: para una media, $\nu = n - 1$. Para dos medias con varianzas iguales, $\nu = n_1 + n_2 - 2$.
2. **Columna**: según la confianza o el nivel de significación, y si el contraste es de una o dos colas.
3. El valor de la tabla es $t$ tal que $P(T > t) = \alpha$ (una cola), o $P(|T| > t) = \alpha$ (dos colas).

## Tabla de valores críticos

| $\nu$ | 80 % (bilateral) | 90 % | 95 % | 98 % | 99 % | 99,9 % |
| - | - | - | - | - | - | - |
| **Una cola, α** | 0,10 | 0,05 | 0,025 | 0,01 | 0,005 | 0,0005 |
| **Dos colas, α** | 0,20 | 0,10 | 0,05 | 0,02 | 0,01 | 0,001 |
| 1 | 3,078 | 6,314 | 12,706 | 31,821 | 63,657 | 636,62 |
| 2 | 1,886 | 2,920 | 4,303 | 6,965 | 9,925 | 31,599 |
| 3 | 1,638 | 2,353 | 3,182 | 4,541 | 5,841 | 12,924 |
| 4 | 1,533 | 2,132 | 2,776 | 3,747 | 4,604 | 8,610 |
| 5 | 1,476 | 2,015 | 2,571 | 3,365 | 4,032 | 6,869 |
| 6 | 1,440 | 1,943 | 2,447 | 3,143 | 3,707 | 5,959 |
| 7 | 1,415 | 1,895 | 2,365 | 2,998 | 3,499 | 5,408 |
| 8 | 1,397 | 1,860 | 2,306 | 2,896 | 3,355 | 5,041 |
| 9 | 1,383 | 1,833 | 2,262 | 2,821 | 3,250 | 4,781 |
| 10 | 1,372 | 1,812 | 2,228 | 2,764 | 3,169 | 4,587 |
| 11 | 1,363 | 1,796 | 2,201 | 2,718 | 3,106 | 4,437 |
| 12 | 1,356 | 1,782 | 2,179 | 2,681 | 3,055 | 4,318 |
| 13 | 1,350 | 1,771 | 2,160 | 2,650 | 3,012 | 4,221 |
| 14 | 1,345 | 1,761 | 2,145 | 2,624 | 2,977 | 4,140 |
| 15 | 1,341 | 1,753 | 2,131 | 2,602 | 2,947 | 4,073 |
| 16 | 1,337 | 1,746 | 2,120 | 2,583 | 2,921 | 4,015 |
| 17 | 1,333 | 1,740 | 2,110 | 2,567 | 2,898 | 3,965 |
| 18 | 1,330 | 1,734 | 2,101 | 2,552 | 2,878 | 3,922 |
| 19 | 1,328 | 1,729 | 2,093 | 2,539 | 2,861 | 3,883 |
| 20 | 1,325 | 1,725 | 2,086 | 2,528 | 2,845 | 3,850 |
| 21 | 1,323 | 1,721 | 2,080 | 2,518 | 2,831 | 3,819 |
| 22 | 1,321 | 1,717 | 2,074 | 2,508 | 2,819 | 3,792 |
| 23 | 1,319 | 1,714 | 2,069 | 2,500 | 2,807 | 3,768 |
| 24 | 1,318 | 1,711 | 2,064 | 2,492 | 2,797 | 3,745 |
| 25 | 1,316 | 1,708 | 2,060 | 2,485 | 2,787 | 3,725 |
| 26 | 1,315 | 1,706 | 2,056 | 2,479 | 2,779 | 3,707 |
| 27 | 1,314 | 1,703 | 2,052 | 2,473 | 2,771 | 3,690 |
| 28 | 1,313 | 1,701 | 2,048 | 2,467 | 2,763 | 3,674 |
| 29 | 1,311 | 1,699 | 2,045 | 2,462 | 2,756 | 3,659 |
| 30 | 1,310 | 1,697 | 2,042 | 2,457 | 2,750 | 3,646 |
| 40 | 1,303 | 1,684 | 2,021 | 2,423 | 2,704 | 3,551 |
| 50 | 1,299 | 1,676 | 2,009 | 2,403 | 2,678 | 3,496 |
| 60 | 1,296 | 1,671 | 2,000 | 2,390 | 2,660 | 3,460 |
| 80 | 1,292 | 1,664 | 1,990 | 2,374 | 2,639 | 3,416 |
| 100 | 1,290 | 1,660 | 1,984 | 2,364 | 2,626 | 3,390 |
| 120 | 1,289 | 1,658 | 1,980 | 2,358 | 2,617 | 3,373 |
| ∞ (normal) | 1,282 | 1,645 | 1,960 | 2,326 | 2,576 | 3,291 |

La última fila son los valores de la [normal estándar](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/distribucion-normal.md): con muchos grados de libertad, la t se convierte en la normal.

## La distribución t

* Es simétrica y con forma de campana, como la normal, pero con **colas más gruesas**: refleja la incertidumbre extra de estimar $\sigma$ con $s$.
* Tiene media 0 y varianza $\frac{\nu}{\nu - 2}$ (para $\nu > 2$), mayor que 1.
* Cuantos menos grados de libertad, más gruesas las colas y mayores los valores críticos.

Su nombre viene de William Gosset, que la publicó en 1908 con el seudónimo "Student" porque trabajaba en la cervecería Guinness, que no dejaba a sus empleados publicar con su nombre.

## Cuándo usar t o z

| Situación | Distribución |
| - | - |
| $\sigma$ conocida | Normal ($z$) |
| $\sigma$ desconocida, población normal | t de Student con $n - 1$ g. l. |
| $\sigma$ desconocida, $n$ grande ($n > 30$ aprox.) | t (o $z$ como aproximación) |
| Proporciones con $n$ grande | Normal ($z$) |

## Ejemplos

> [accordion] Ejemplo 1 · Intervalo de confianza al 95 %
>
> Muestra de $n = 16$: $\bar x = 50$, $s = 8$. $\nu = 15$, columna del 95 %: $t = 2{,}131$.
>
> $50 \pm 2{,}131\cdot\frac{8}{4} = 50 \pm 4{,}26$, es decir, $(45{,}74;\ 54{,}26)$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Contraste unilateral
>
> Con $n = 10$ y $\alpha = 0{,}05$ en una cola: $\nu = 9$, fila 9, columna "una cola 0,05": $t_c = 1{,}833$.
>
> Si el estadístico sale $t = 2{,}1 > 1{,}833$, se rechaza $H_0$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Grados de libertad que no están en la tabla
>
> Para $\nu = 45$, entre 40 (2,021) y 50 (2,009) al 95 %: interpolando, $t \approx 2{,}015$. Tomar el valor de 40 g. l. es la opción conservadora.

## Errores frecuentes

* **Usar $n$ en lugar de $n - 1$** grados de libertad.
* **Mirar la columna de una cola para un intervalo de confianza.** El intervalo es bilateral: al 95 % se usa $\alpha = 0{,}025$ en cada cola.
* **Usar la t con proporciones.** Para proporciones se usa la normal.

## Temas relacionados

> [card] [Intervalos de confianza](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/intervalos-confianza.md)
>
> Cómo se construyen.

> [card] [Contraste de hipótesis](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/contraste-hipotesis.md)
>
> Contrastes t y valor p.

> [card] [Distribución normal](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/distribucion-normal.md)
>
> La tabla N(0, 1) interactiva.


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