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# Teorema de Pitágoras: hipotenusa y catetos con ejemplos

> El teorema de Pitágoras explicado: calcular la hipotenusa o un cateto de un triángulo rectángulo, ternas pitagóricas, demostración y aplicaciones con ejemplos resueltos.

<Card title="Abrir la calculadora" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/pitagoras">
  Halla la hipotenusa o un cateto de un triángulo rectángulo.
</Card>

Es probablemente el teorema más famoso de las matemáticas. Relaciona los tres lados de cualquier triángulo rectángulo, y con él se calculan distancias, diagonales, alturas y escaleras apoyadas en paredes. También está escondido en la fórmula de la distancia entre dos puntos y en el módulo de un vector.

## Cómo se usa la calculadora

1. Elige **Hallar la hipotenusa** o **Hallar un cateto**.
2. Escribe los dos lados conocidos.
3. Obtienes el lado que falta con los cuadrados y la raíz.

## Fundamentos teóricos

### El teorema

En un triángulo **rectángulo**, el cuadrado de la **hipotenusa** (el lado opuesto al ángulo recto, el más largo) es igual a la suma de los cuadrados de los **catetos**:

$$
c^2 = a^2 + b^2
$$

Despejando:

$$
c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad a = \sqrt{c^2 - b^2}
$$

### Una demostración visual

Coloca cuatro copias del triángulo dentro de un cuadrado de lado $a + b$. El hueco del centro es un cuadrado de lado $c$. Área total: $(a + b)^2 = 4 \cdot \frac{ab}{2} + c^2$, que simplificando da $a^2 + b^2 = c^2$.

### El recíproco

Si en un triángulo $c^2 = a^2 + b^2$, entonces es rectángulo. Si $c^2 > a^2 + b^2$ es **obtusángulo**, y si $c^2 < a^2 + b^2$, **acutángulo** (siendo $c$ el lado mayor).

### Ternas pitagóricas

Números enteros que cumplen el teorema: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) y sus múltiplos. Los albañiles usan la 3-4-5 para trazar ángulos rectos con una cuerda.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Hipotenusa" defaultOpen>
    Catetos 3 y 4: $c = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Cateto">
    Hipotenusa 10 y un cateto 6: $a = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · La escalera">
    Una escalera de 3,5 m se apoya en una pared con el pie a 1 m de ella. ¿A qué altura llega?

    $h = \sqrt{3{,}5^2 - 1^2} = \sqrt{11{,}25} = 3{,}35$ m.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Diagonal de un cuadrado">
    Lado 5 cm: $d = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt2 = 7{,}07$ cm.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Aplicarlo a triángulos que no son rectángulos.** Para esos está el [teorema del coseno](/matematicas/trigonometria/triangulos).
* **Sumar en vez de restar** al buscar un cateto.
* **Repartir la raíz**: $\sqrt{9 + 16} \ne 3 + 4$.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Resolución de triángulos" icon="calculator" href="/matematicas/trigonometria/triangulos">
    Cualquier triángulo con seno y coseno.
  </Card>

  <Card title="Calculadora de vectores" icon="calculator" href="/matematicas/algebra-lineal/vectores">
    El módulo de un vector es Pitágoras.
  </Card>

  <Card title="Circunferencia unitaria" icon="circle" href="/matematicas/trigonometria/circunferencia-unitaria">
    sen² + cos² = 1.
  </Card>
</CardGroup>


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