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# Métodos numéricos: temas, ideas clave y simuladores

> Métodos numéricos para ingeniería: ceros de funciones (bisección, Newton-Raphson, secante), interpolación (Lagrange, Newton, splines), integración numérica (trapecio, Simpson, Gauss) y sistemas lineales (Gauss, LU, Jacobi, Gauss-Seidel).

La mayoría de los problemas reales no tienen una fórmula cerrada: ecuaciones que no se pueden despejar, integrales sin primitiva, sistemas con millones de incógnitas. Los **métodos numéricos** los resuelven con el ordenador, de forma aproximada pero con un error **controlado**. Son la base de los programas de simulación, de cálculo de estructuras y de diseño de circuitos.

## Las ideas clave del bloque

### Error y orden

Un método numérico no da la solución exacta, sino una aproximación. Lo que importa es **cuánto se equivoca** y **cómo baja el error** al trabajar más: si al dividir el paso por 2 el error se divide por 4, el método es de orden 2.

### Iterar

Muchos métodos parten de una aproximación y la mejoran repetidamente: Newton-Raphson para ecuaciones, Jacobi y Gauss-Seidel para sistemas. Hay que saber **cuándo convergen** y **cuándo parar**.

### Aproximar por polinomios

Interpolar es sustituir una función (o una tabla de datos) por un polinomio que pase por los puntos. Integrar numéricamente es integrar ese polinomio. Muchos métodos salen de esta idea, y de [Taylor](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/aplicaciones-taylor.md).

### Estabilidad y condicionamiento

Un **problema mal condicionado** amplifica los errores de los datos, se use el método que se use. Un **método inestable** amplifica los errores de redondeo aunque el problema sea bueno. Pivotar en la eliminación de Gauss es un ejemplo de cómo evitarlo.

## Orden recomendado

**1. Ceros de funciones**

Bisección, Newton-Raphson, secante y punto fijo.

**2. Interpolación**

Lagrange, diferencias divididas, Runge y splines.

**3. Integración numérica**

Trapecio, Simpson, Richardson y Gauss.

**4. Sistemas lineales**

Gauss con pivoteo, LU, condicionamiento, Jacobi y Gauss-Seidel.

**5. Ecuaciones diferenciales**

Euler, Heun y Runge-Kutta, en el bloque de modelos.

## Temas de este bloque

> [card] [Ceros de funciones](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/ceros-funciones.md)
>
> Métodos numéricos para resolver f(x) = 0: bisección, regula falsi, Newton-Raphson, secante y punto fijo, con su orden de convergencia, criterios de parada, cuándo fallan y tablas de iteraciones resueltas.

> [card] [Interpolación](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/interpolacion.md)
>
> Interpolación de datos: polinomio de Lagrange, diferencias divididas de Newton, error de interpolación, fenómeno de Runge, nodos de Chebyshev, interpolación lineal a trozos y splines cúbicos, con ejemplos resueltos.

> [card] [Integración numérica](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/integracion-numerica.md)
>
> Cómo calcular integrales definidas sin primitiva: regla del rectángulo, del trapecio y de Simpson, fórmulas compuestas, error y orden de cada método, extrapolación de Richardson y cuadratura de Gauss, con ejemplos resueltos.

> [card] [Sistemas lineales](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/sistemas-lineales.md)
>
> Métodos numéricos para resolver Ax = b: eliminación gaussiana con pivoteo, factorización LU y de Cholesky, coste computacional, número de condición, y métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel con su convergencia, con ejemplos resueltos.

## Simuladores relacionados en Simulab

> [card] [Ecuaciones diferenciales](https://simulab.es/matematicas/ecuaciones-diferenciales)
>
> Campo de direcciones de y′ = f(x, y) y métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta 4 paso a paso.

> [card] [Derivada e integral](https://simulab.es/matematicas/calculo)
>
> Las sumas de Riemann se acercan al área exacta.

> [card] [Calculadora de matrices](https://simulab.es/matematicas/calculadora-matrices)
>
> Gauss paso a paso con cada operación entre filas.

> [card] [Estimar π](https://simulab.es/matematicas/estimacion-pi)
>
> Integración por Montecarlo.


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