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# Ceros de funciones: bisección, Newton-Raphson, secante y punto fijo

> Métodos numéricos para resolver f(x) = 0: bisección, regula falsi, Newton-Raphson, secante y punto fijo, con su orden de convergencia, criterios de parada, cuándo fallan y tablas de iteraciones resueltas.

Las ecuaciones $x^2 = 2$ o $ax^2 + bx + c = 0$ tienen fórmula, pero $\cos x = x$ o $e^{-x} = x^2 - 1$ no. En ingeniería la mayoría de las ecuaciones son de este segundo tipo: el punto de trabajo de un diodo, la tasa de interés de un préstamo o la frecuencia de resonancia de una viga. Los **métodos numéricos** encuentran la solución con la precisión que se quiera, repitiendo un paso sencillo.

## Lo que vas a aprender

* El teorema de Bolzano y el método de bisección.
* El método de Newton-Raphson y por qué es tan rápido.
* Los métodos de la secante y del punto fijo.
* Qué es el orden de convergencia y cómo se compara cada método.
* Cuándo se debe parar y cuándo un método puede fallar.

## Fundamentos teóricos

### Teorema de Bolzano

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen **signos opuestos**, existe al menos un $c \in (a, b)$ con $f(c) = 0$. Es lo que garantiza que hay raíz y permite **encerrarla**.

### Bisección

1. Calcula el punto medio $m = \frac{a + b}{2}$.
2. Si $f(a)$ y $f(m)$ tienen signos opuestos, la raíz está en $[a, m]$; si no, en $[m, b]$.
3. Repite con el nuevo intervalo.

Cada paso **divide el error por 2**. Tras $n$ pasos, el error es como mucho $\frac{b - a}{2^{n+1}}$. Para conseguir un error $\varepsilon$ hacen falta

$$
n \ge \log_2\frac{b - a}{\varepsilon} - 1
$$

Es lento pero **siempre converge**.

### Newton-Raphson

Se sustituye la curva por su recta tangente y se busca dónde corta al eje:

$$
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$

Cerca de una raíz simple, el error se **eleva al cuadrado** en cada paso: el número de cifras correctas aproximadamente **se duplica**. A cambio, necesita la derivada y un buen punto de partida.

### Secante

Igual que Newton, pero sustituye la derivada por la pendiente entre los dos últimos puntos:

$$
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}
$$

No necesita derivada y su orden es $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618$, el número áureo.

**Regula falsi** usa la misma fórmula pero conserva siempre un intervalo con cambio de signo, como la bisección: es segura pero puede volverse lenta.

### Punto fijo

Se reescribe la ecuación como $x = g(x)$ y se itera $x_{n+1} = g(x_n)$. Converge si cerca de la raíz

$$
|g'(x)| < 1
$$

y cuanto menor sea $|g'|$, más rápido. La misma ecuación se puede reescribir de muchas formas; unas convergen y otras no.

### Orden de convergencia

Un método tiene orden $p$ si $|e_{n+1}| \approx C\,|e_n|^p$.

| Método | Orden | Necesita | Converge siempre |
| - | - | - | - |
| Bisección | 1 (factor $\frac12$) | Intervalo con cambio de signo | Sí |
| Punto fijo | 1 (factor $\lvert g'\rvert$) | $\lvert g'\rvert < 1$ | No |
| Secante | 1,618 | Dos puntos iniciales | No |
| Newton | 2 | Derivada | No |

### Criterios de parada

Se para cuando se cumple uno de estos:

* $|x_{n+1} - x_n| < \varepsilon$ (el paso es pequeño).
* $|f(x_n)| < \delta$ (el residuo es pequeño).
* Se alcanza un número máximo de iteraciones (por si no converge).

En la práctica se combinan los tres.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Bisección para √2
>
> $f(x) = x^2 - 2$ en $[1, 2]$: $f(1) = -1 < 0$, $f(2) = 2 > 0$.
>
> | $n$ | $a$ | $b$ | $m$ | $f(m)$ |
> | - | - | - | - | - |
> | 1 | 1 | 2 | 1,5 | 0,25 |
> | 2 | 1 | 1,5 | 1,25 | −0,4375 |
> | 3 | 1,25 | 1,5 | 1,375 | −0,1094 |
> | 4 | 1,375 | 1,5 | 1,4375 | 0,0664 |
> | 5 | 1,375 | 1,4375 | 1,40625 | −0,0225 |
>
> Tras 5 pasos, $\sqrt2 \in [1{,}40625;\ 1{,}4375]$. Para $10^{-6}$ harían falta unos 20 pasos.

> [accordion] Ejemplo 2 · Newton para √2
>
> $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac12\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)$, el método babilónico.
>
> | $n$ | $x_n$ | Cifras correctas |
> | - | - | - |
> | 0 | 1 | 1 |
> | 1 | 1,5 | 1 |
> | 2 | 1,416667 | 3 |
> | 3 | 1,414216 | 6 |
> | 4 | 1,41421356237469 | 12 |
>
> Las cifras correctas se duplican en cada paso.

> [accordion] Ejemplo 3 · Newton para cos x = x
>
> $f(x) = \cos x - x$, $f'(x) = -\operatorname{sen} x - 1$, $x_0 = 1$.
>
> $x_1 = 1 - \frac{\cos 1 - 1}{-\operatorname{sen} 1 - 1} = 1 - \frac{-0{,}4597}{-1{,}8415} = 0{,}7504$
>
> $x_2 = 0{,}7391$, $x_3 = 0{,}739085$. La solución es $0{,}7390851\ldots$, el número de Dottie.

> [accordion] Ejemplo 4 · Punto fijo: una forma converge y otra no
>
> La ecuación $x^2 - x - 2 = 0$ tiene raíz $x = 2$.
>
> * $g_1(x) = \sqrt{x + 2}$: $g_1'(2) = \frac{1}{2\sqrt4} = 0{,}25 < 1$. **Converge**: desde $x_0 = 0$, se obtiene 1,414; 1,848; 1,962; 1,990…
> * $g_2(x) = x^2 - 2$: $g_2'(2) = 4 > 1$. **Diverge**: desde $x_0 = 2{,}1$, se obtiene 2,41; 3,81; 12,5…

> [accordion] Ejemplo 5 · Cuando Newton falla
>
> $f(x) = x^3 - 2x + 2$ con $x_0 = 0$: $x_1 = 0 - \frac{2}{-2} = 1$, y $x_2 = 1 - \frac{1}{1} = 0$. El método **entra en un ciclo** entre 0 y 1 y nunca converge.
>
> Otras causas de fallo: $f'(x_n) \approx 0$ (la tangente es casi horizontal y salta lejos) o raíces múltiples, donde el orden baja a 1.

## Errores frecuentes

* **Aplicar bisección sin comprobar el cambio de signo.** Si $f(a)$ y $f(b)$ tienen el mismo signo, puede no haber raíz, o haber dos.
* **Confiar en Newton desde cualquier punto.** Es muy rápido cerca de la raíz pero puede divergir o ciclar lejos de ella.
* **Parar solo con $|f(x)|$ pequeño.** Si la función es muy plana, $|f|$ es pequeño lejos de la raíz.
* **Elegir mal $g(x)$ en el punto fijo.** Comprueba $|g'| < 1$ antes de iterar.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Qué método usan los programas de verdad?
>
> Métodos **híbridos** como el de Brent (el `fzero` de MATLAB o `brentq` de SciPy): mantienen un intervalo con cambio de signo como la bisección, pero dan pasos de secante o de interpolación cuadrática inversa cuando es seguro. Son tan robustos como la bisección y casi tan rápidos como Newton.

> [accordion] ¿Y para sistemas de ecuaciones no lineales?
>
> Newton se generaliza: $\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{x}_n - J^{-1}(\mathbf{x}_n)\,\mathbf{F}(\mathbf{x}_n)$, donde $J$ es la matriz jacobiana. En cada paso se resuelve un [sistema lineal](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/sistemas-lineales.md) en lugar de invertir $J$. Es como calculan los simuladores de circuitos (SPICE) el punto de trabajo.

## Temas relacionados

> [card] [Derivadas paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/derivadas.md)
>
> La derivada que necesita Newton.

> [card] [El diodo](https://apuntes.simulab.es/electronica/componentes/diodo.md)
>
> Un punto de trabajo que se resuelve con Newton.

> [card] [Aplicaciones de Taylor](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/aplicaciones-taylor.md)
>
> De dónde sale la fórmula de Newton.


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