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# Integración numérica: regla del trapecio, Simpson y cuadratura de Gauss

> Cómo calcular integrales definidas sin primitiva: regla del rectángulo, del trapecio y de Simpson, fórmulas compuestas, error y orden de cada método, extrapolación de Richardson y cuadratura de Gauss, con ejemplos resueltos.

Muchas integrales no tienen primitiva elemental: $\int e^{-x^2}dx$, $\int \frac{\operatorname{sen} x}{x}dx$ o la longitud de una elipse. Otras veces la función no tiene fórmula, solo una tabla de medidas. La **integración numérica** aproxima el área sumando las de figuras sencillas (rectángulos, trapecios, parábolas) y permite controlar el error.

## Lo que vas a aprender

* Las reglas del rectángulo, del trapecio y de Simpson.
* Las fórmulas compuestas, que dividen el intervalo en muchos trozos.
* El error de cada regla y cómo depende del número de subintervalos.
* Cómo mejorar una aproximación con la extrapolación de Richardson.
* La idea de la cuadratura de Gauss.

## Fundamentos teóricos

### Reglas simples

Se aproxima $f$ por un polinomio en $[a, b]$ y se integra el polinomio. Con $h = b - a$:

| Regla | Aproxima $f$ por | Fórmula |
| - | - | - |
| Punto medio | Una constante | $h\,f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)$ |
| Trapecio | Una recta | $\frac{h}{2}\big(f(a) + f(b)\big)$ |
| Simpson | Una parábola | $\frac{h}{6}\left(f(a) + 4f\!\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right)$ |

### Fórmulas compuestas

Se divide $[a, b]$ en $n$ subintervalos de anchura $h = \frac{b - a}{n}$, con nodos $x_i = a + ih$.

**Trapecio compuesto:**

$$
T_n = h\left(\frac{f(x_0)}{2} + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1}) + \frac{f(x_n)}{2}\right)
$$

**Simpson compuesto** ($n$ **par**):

$$
S_n = \frac{h}{3}\Big(f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big)
$$

Los coeficientes son 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1.

### Error

| Regla compuesta | Error | Orden | Exacta para |
| - | - | - | - |
| Punto medio | $\frac{(b-a)h^2}{24}f''(\xi)$ | $h^2$ | Rectas |
| Trapecio | $-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$ | $h^2$ | Rectas |
| Simpson | $-\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)$ | $h^4$ | **Cúbicas** |

Duplicar $n$ divide el error del trapecio por **4** y el de Simpson por **16**. Simpson es exacta también para cúbicas, aunque use parábolas: es un "regalo" de la simetría.

Curiosidad: el error del punto medio es la mitad que el del trapecio y de signo contrario. Por eso $S = \frac{2M + T}{3}$, que es exactamente Simpson.

### Extrapolación de Richardson

Si el error del trapecio es $\approx C h^2$, combinando $T_n$ y $T_{2n}$ se elimina:

$$
\frac{4\,T_{2n} - T_n}{3}
$$

El resultado es igual a $S_{2n}$ y tiene error $O(h^4)$. Repitiendo la idea se obtiene el **método de Romberg**, con orden cada vez mayor.

### Cuadratura de Gauss

En lugar de nodos equiespaciados, se eligen también **las posiciones** de los nodos para maximizar la precisión. Con $n$ nodos se integra exactamente cualquier polinomio de grado $2n - 1$. En $[-1, 1]$:

| Nodos | Posiciones | Pesos | Exacta hasta grado |
| - | - | - | - |
| 1 | $0$ | $2$ | 1 |
| 2 | $\pm\frac{1}{\sqrt3}$ | $1, 1$ | 3 |
| 3 | $0,\ \pm\sqrt{\frac35}$ | $\frac89,\ \frac59, \frac59$ | 5 |

Para otro intervalo se cambia de variable: $x = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}t$.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Trapecio y Simpson con n = 4
>
> $I = \int_0^1 e^{-x^2}\,dx = 0{,}746824\ldots$ con $h = 0{,}25$.
>
> | $x$ | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 |
> | - | - | - | - | - | - |
> | $f(x)$ | 1 | 0,939413 | 0,778801 | 0,569783 | 0,367879 |
>
> $T_4 = 0{,}25\,(0{,}5 + 0{,}939413 + 0{,}778801 + 0{,}569783 + 0{,}183940) = 0{,}742984$. Error: $3{,}8\cdot10^{-3}$.
>
> $S_4 = \frac{0{,}25}{3}(1 + 4\cdot0{,}939413 + 2\cdot0{,}778801 + 4\cdot0{,}569783 + 0{,}367879) = 0{,}746855$. Error: $3\cdot10^{-5}$, más de 100 veces menor con los mismos puntos.

> [accordion] Ejemplo 2 · ¿Cuántos subintervalos?
>
> ¿Qué $n$ asegura error menor que $10^{-6}$ con el trapecio en $\int_0^1 e^{-x^2}dx$?
>
> $|f''(x)| = |(4x^2 - 2)e^{-x^2}| \le 2$ en $[0, 1]$. Error $\le \frac{1 \cdot h^2}{12}\cdot 2 = \frac{h^2}{6} < 10^{-6}$.
>
> $h < 0{,}00245$, es decir, $n \ge 409$. Con Simpson ($|f^{(4)}| \le 12$) basta $n = 18$ (el primer par que cumple $n \ge 16{,}1$).

> [accordion] Ejemplo 3 · Simpson es exacta para cúbicas
>
> $\int_0^2 x^3\,dx = 4$. Simpson simple con $h = 2$: $\frac{2}{6}(0 + 4\cdot1 + 8) = 4$. Exacto.

> [accordion] Ejemplo 4 · Gauss con dos puntos
>
> $\int_0^1 e^{-x^2}dx$: con $x = \frac{1 + t}{2}$, $dx = \frac{dt}{2}$, los nodos son $x = 0{,}211325$ y $x = 0{,}788675$.
>
> $I \approx \frac12\left(e^{-0{,}044658} + e^{-0{,}622008}\right) = \frac12(0{,}956324 + 0{,}536860) = 0{,}746595$.
>
> Con **solo dos evaluaciones**, error de $2{,}3\cdot10^{-4}$, mejor que el trapecio con cinco.

> [accordion] Ejemplo 5 · Integrar datos medidos
>
> Un coche registra su velocidad cada 10 s: 0, 12, 20, 25, 27 m/s. ¿Distancia en 40 s?
>
> Simpson con $h = 10$: $\frac{10}{3}(0 + 4\cdot12 + 2\cdot20 + 4\cdot25 + 27) = \frac{10}{3}\cdot 215 \approx 717$ m.

## Errores frecuentes

* **Usar Simpson con un número impar de subintervalos.** Necesita $n$ par; si no, se combina con una regla de 3/8 en el último tramo.
* **Equivocar los pesos.** Trapecio: $\frac12, 1, 1, \dots, 1, \frac12$. Simpson: $1, 4, 2, 4, \dots, 4, 1$, todo por $\frac{h}{3}$.
* **Confundir $n$ subintervalos con $n$ puntos.** Con $n$ subintervalos hay $n + 1$ puntos.
* **Integrar funciones con singularidades** como $1/\sqrt{x}$ en 0 sin tratarlas aparte: el error no baja como predice la fórmula.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Qué usan los programas?
>
> **Cuadratura adaptativa**: comparan dos aproximaciones en cada trozo y subdividen solo donde el error es grande. `quad` de SciPy usa Gauss-Kronrod adaptativo, de la biblioteca QUADPACK.

> [accordion] ¿Y las integrales en varias dimensiones?
>
> En dos o tres dimensiones se aplican estas reglas en cada variable. Con muchas dimensiones el número de puntos explota y se usa el método de **Montecarlo**, cuyo error baja como $1/\sqrt{N}$ sin importar la dimensión, como en el simulador de [estimar π](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/estimacion-pi.md).

## Temas relacionados

> [card] [Derivada e integral](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/calculo.md)
>
> Sumas de Riemann y el área bajo la curva.

> [card] [Interpolación](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/interpolacion.md)
>
> El polinomio que se integra en cada regla.

> [card] [Estimar π](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/estimacion-pi.md)
>
> Integración por Montecarlo.


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