> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Sistemas lineales: eliminación de Gauss, LU, Jacobi y Gauss-Seidel > Métodos numéricos para resolver Ax = b: eliminación gaussiana con pivoteo, factorización LU y de Cholesky, coste computacional, número de condición, y métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel con su convergencia, con ejemplos resueltos. Resolver un circuito por nudos, calcular las fuerzas en una estructura o simular el calor en una pieza con elementos finitos acaba siempre en lo mismo: un **sistema lineal** $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, a veces con millones de incógnitas. La regla de Cramer es inútil a esa escala. Los métodos numéricos se dividen en **directos**, que dan la solución en un número fijo de pasos, e **iterativos**, que la aproximan cada vez mejor. ## Lo que vas a aprender * La eliminación de Gauss y por qué hace falta pivotar. * La factorización LU y cuándo compensa. * Cuánto cuesta cada método en número de operaciones. * Qué es el número de condición y por qué algunos sistemas son "peligrosos". * Los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel y cuándo convergen. ## Fundamentos teóricos ### Eliminación de Gauss 1. **Eliminación:** con operaciones de fila se hacen ceros bajo la diagonal hasta obtener un sistema triangular superior $U\mathbf{x} = \mathbf{c}$. 2. **Sustitución regresiva:** se despeja $x_n$ de la última ecuación, luego $x_{n-1}$, y así hasta $x_1$. El **multiplicador** para hacer cero el elemento $a_{ik}$ usando la fila $k$ es $m_{ik} = a_{ik}/a_{kk}$. El elemento $a_{kk}$ es el **pivote**. ### Pivoteo parcial Si un pivote es 0, el método se para; si es muy pequeño, los errores de redondeo se disparan. El **pivoteo parcial** intercambia filas para usar como pivote el elemento de **mayor valor absoluto** de la columna. Es lo que hacen todos los programas. ### Factorización LU La eliminación de Gauss equivale a escribir $$ A = L\,U $$ con $L$ triangular inferior (con unos en la diagonal y los multiplicadores debajo) y $U$ triangular superior. Con pivoteo, $PA = LU$. Para resolver $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$: primero $L\mathbf{y} = \mathbf{b}$ (sustitución progresiva) y después $U\mathbf{x} = \mathbf{y}$ (regresiva). La ventaja: si hay que resolver con **muchos** $\mathbf{b}$ distintos, la factorización se hace una sola vez. Si $A$ es **simétrica y definida positiva**, se usa **Cholesky**: $A = LL^T$, con la mitad de operaciones. ### Coste | Operación | Multiplicaciones (aprox.) | | - | - | | Factorización LU / eliminación | $\frac{n^3}{3}$ | | Sustituciones con LU ya hecha | $n^2$ | | Regla de Cramer con determinantes por cofactores | $\sim n!$ | Para $n = 1000$, LU necesita unos $3\cdot10^8$ productos (una fracción de segundo). Cramer por cofactores necesitaría más operaciones que átomos hay en el universo. ### Número de condición $$ \kappa(A) = \|A\|\,\|A^{-1}\| $$ Mide cuánto se amplifica un error relativo en los datos: $$ \frac{\|\Delta\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|} \le \kappa(A)\,\frac{\|\Delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|} $$ Con $\kappa \approx 10^k$ se pierden unas $k$ cifras significativas. Un sistema con $\kappa$ grande se llama **mal condicionado**: ningún algoritmo lo arregla, porque el problema mismo es sensible. ### Métodos iterativos Se descompone $A = D + L + U$ (diagonal, parte estrictamente inferior y superior) y se itera. **Jacobi:** cada incógnita se despeja de su ecuación usando los valores de la iteración **anterior**: $$ x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j\ne i} a_{ij}\,x_j^{(k)}\right) $$ **Gauss-Seidel:** igual, pero usa los valores **ya actualizados** en la misma iteración. Suele converger el doble de rápido y necesita menos memoria. **Convergencia:** si $A$ es **estrictamente diagonalmente dominante** por filas, es decir, $|a_{ii}| > \sum_{j \ne i}|a_{ij}|$ en cada fila, los dos métodos convergen desde cualquier punto. Gauss-Seidel también converge si $A$ es simétrica definida positiva. ### ¿Directo o iterativo? | | Directos (LU) | Iterativos | | - | - | - | | Matrices | Densas, tamaño moderado | Grandes y **dispersas** (casi todo ceros) | | Resultado | Exacto salvo redondeo | Aproximado, se para al llegar a la tolerancia | | Memoria | Puede rellenar los ceros | Solo guarda los elementos no nulos | ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Eliminación de Gauss > > $$ > \begin{cases} 2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3 \end{cases} > $$ > > Con $m_{21} = -1{,}5$ y $m_{31} = -1$: la fila 2 pasa a $0{,}5y + 0{,}5z = 1$ y la fila 3, a $2y + z = 5$. > > Con $m_{32} = 4$: la fila 3 pasa a $-z = 1$. > > Sustitución regresiva: $z = -1$, $y = 3$, $x = 2$. > [accordion] Ejemplo 2 · Factorización LU > > $A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$. Multiplicador $m_{21} = 6/4 = 1{,}5$. > > $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1{,}5 & 1 \end{pmatrix}$, $U = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & -1{,}5 \end{pmatrix}$. Comprobación: $LU = A$. > > Para $\mathbf{b} = (10, 12)$: $L\mathbf{y} = \mathbf{b}$ da $\mathbf{y} = (10, -3)$, y $U\mathbf{x} = \mathbf{y}$ da $x_2 = 2$, $x_1 = 1$. > [accordion] Ejemplo 3 · Por qué pivotar > > $\begin{cases} 0{,}0001x + y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases}$, cuya solución es $x \approx 1{,}0001$, $y \approx 0{,}9999$. > > Sin pivotar, con 3 cifras significativas: $m = 10\,000$, la segunda fila queda $-10\,000y = -10\,000$ (el 1 y el 2 se pierden al redondear), $y = 1$ y $x = \frac{1 - 1}{0{,}0001} = 0$. **Totalmente falso.** > > Intercambiando filas primero, $m = 0{,}0001$ y se obtiene $y = 1$, $x = 1$, correcto con 3 cifras. > [accordion] Ejemplo 4 · Jacobi y Gauss-Seidel > > $\begin{cases} 4x - y = 3 \\ -x + 4y = 3 \end{cases}$ (solución $x = y = 1$). Es diagonalmente dominante. > > | $k$ | Jacobi $(x, y)$ | Gauss-Seidel $(x, y)$ | > | - | - | - | > | 0 | (0, 0) | (0, 0) | > | 1 | (0,75; 0,75) | (0,75; 0,9375) | > | 2 | (0,9375; 0,9375) | (0,984; 0,996) | > | 3 | (0,984; 0,984) | (0,999; 1,000) | > > Jacobi divide el error por 4 en cada paso; Gauss-Seidel, por 16. > [accordion] Ejemplo 5 · Un sistema mal condicionado > > $\begin{cases} x + y = 2 \\ x + 1{,}0001y = 2{,}0001 \end{cases}$ tiene solución $(1, 1)$. > > Si el 2,0001 se mide como 2,0002 (un error del 0,005 %), la solución pasa a $(0, 2)$. Las dos rectas son casi paralelas: $\kappa \approx 4\cdot10^4$. ## Errores frecuentes * **Calcular $A^{-1}$ para resolver $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$.** Cuesta el triple que LU y es menos preciso. Se factoriza y se sustituye. * **No pivotar.** Un pivote pequeño destruye la precisión aunque no sea exactamente 0. * **Aplicar Jacobi a una matriz que no converge.** Reordena las ecuaciones para que la diagonal domine antes de iterar. * **Confundir determinante pequeño con mal condicionamiento.** $10^{-10} I$ tiene determinante diminuto y $\kappa = 1$: está perfectamente condicionada. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Qué hace la barra invertida de MATLAB? > > `A\b` analiza la matriz y elige: Cholesky si es simétrica definida positiva, LU con pivoteo parcial si es cuadrada general, QR si es rectangular (mínimos cuadrados). Para matrices dispersas grandes se usan métodos iterativos como el **gradiente conjugado** o GMRES. > [accordion] ¿Por qué los simuladores de circuitos acaban en un sistema lineal? > > El análisis por [nudos](https://apuntes.simulab.es/electronica/analisis-circuitos/mallas-nudos.md) da $G\mathbf{v} = \mathbf{i}$. Con componentes no lineales, cada paso de Newton-Raphson linealiza el circuito y resuelve un sistema así. Por eso SPICE pasa la mayor parte del tiempo factorizando matrices dispersas. ## Temas relacionados > [card] [Calculadora de matrices](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/calculadora-matrices.md) > > Determinante, inversa y operaciones con matrices. > [card] [Sistemas de ecuaciones 2×2](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra/sistemas-ecuaciones.md) > > Sustitución, igualación y reducción. > [card] [Mallas y nudos](https://apuntes.simulab.es/electronica/analisis-circuitos/mallas-nudos.md) > > Los sistemas lineales de los circuitos. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.