> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Modelos y ecuaciones diferenciales: temas, ideas clave y simuladores > Ecuaciones diferenciales y modelos: campo de direcciones, métodos de Euler y Runge-Kutta, Lotka-Volterra y el modelo SIR de epidemias. Muchas leyes de la naturaleza no dicen cuánto vale algo, sino **cómo cambia**: una población crece en proporción a su tamaño, una epidemia avanza según los contactos entre sanos y enfermos. Esas leyes son **ecuaciones diferenciales**, y resolverlas, con fórmulas o con el ordenador, permite predecir el futuro de un sistema. ## Las ideas clave del bloque ### Ecuación diferencial Una ecuación que relaciona una función con sus derivadas, como $y' = f(x, y)$. Con una **condición inicial** $y(x_0) = y_0$ se elige una solución concreta. ### Resolución numérica La mayoría no tiene solución con fórmulas. Los métodos numéricos avanzan paso a paso: **Euler** (orden 1), **Heun** (orden 2) y **Runge-Kutta 4** (orden 4), mucho más preciso con el mismo paso. ### Sistemas de ecuaciones Con varias magnitudes que se influyen, aparecen sistemas: * **Lotka-Volterra**: presas y depredadores que oscilan alrededor de un equilibrio. * **SIR**: susceptibles, infectados y recuperados. El número $R_0$ decide si la epidemia crece. ### El plano de fases Dibujar una variable frente a otra, en lugar de frente al tiempo, revela la estructura del sistema: ciclos, equilibrios y hacia dónde va cada trayectoria. ## Orden recomendado Campo de direcciones de y′ = f(x, y) y métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta 4 paso a paso. Conejos y zorros con las ecuaciones de Lotka-Volterra: poblaciones en el tiempo y plano de fases. Cómo crece y se apaga una epidemia según R₀, y qué hacen la vacunación y la reducción de contactos. ## Temas de este bloque Ecuaciones diferenciales de primer orden y′ = f(x, y): campo de direcciones, problema de valor inicial y métodos numéricos de Euler, Heun y Runge-Kutta 4 con su orden y error. Las ecuaciones de Lotka-Volterra explicadas: poblaciones de presas y depredadores que oscilan, punto de equilibrio, plano de fases, capacidad de carga y crecimiento logístico. El modelo SIR explicado: susceptibles, infectados y recuperados, número básico de reproducción R₀, número efectivo Rₜ, pico de contagios, inmunidad de grupo, vacunación y reducción de contactos. ## Simuladores de modelos matemáticos en Simulab Campo de direcciones de y′ = f(x, y) y métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta 4 paso a paso. Conejos y zorros con las ecuaciones de Lotka-Volterra: poblaciones en el tiempo y plano de fases. Cómo crece y se apaga una epidemia según R₀, y qué hacen la vacunación y la reducción de contactos. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.