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# Ecuaciones diferenciales: campo de direcciones y métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta

> Ecuaciones diferenciales de primer orden y′ = f(x, y): campo de direcciones, problema de valor inicial y métodos numéricos de Euler, Heun y Runge-Kutta 4 con su orden y error.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/matematicas/ecuaciones-diferenciales">
  Campo de direcciones de y′ = f(x, y) y métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta 4 paso a paso.
</Card>

Casi todas las leyes de la física, la biología o la economía dicen **cómo cambia** algo: la velocidad de enfriamiento de un café, el crecimiento de una población, la carga de un condensador. Son **ecuaciones diferenciales**. Muchas no se pueden resolver con una fórmula, pero sí **paso a paso**, con métodos numéricos que usan los ordenadores para predecir el tiempo, simular puentes o lanzar cohetes.

## Lo que vas a aprender

* Qué es una ecuación diferencial de primer orden y un problema de valor inicial.
* Interpretar el campo de direcciones.
* Los métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta 4.
* Qué es el orden de un método y cómo depende el error del paso.

## Cómo se usa el simulador

1. Escribe la ecuación $y' = f(x, y)$ (por ejemplo `x - y`) o elige un ejemplo: $y' = y$, $y' = x - y$, $y' = -2xy$, $y' = y(1 - y)$, $y' = \sin x - y$, $y' = x^2 + y^2$.
2. **Arrastra** sobre la gráfica para mover la condición inicial, o usa los deslizadores:

| Control | Qué hace |
| - | - |
| **x₀, y₀** | Condición inicial $y(x_0) = y_0$ |
| **h · paso** | Tamaño de cada paso (0,01 – 2) |
| **Hasta x** | Dónde termina el cálculo |
| **Ventana en y** | Escala vertical |

3. Elige **Euler**, **Heun** o **RK4** para ver su tabla de primeros pasos. La tabla final compara el valor de cada método con la solución exacta (línea discontinua) y su error.

## Fundamentos teóricos

### Ecuación diferencial y valor inicial

$$
y' = f(x, y) \qquad y(x_0) = y_0
$$

La ecuación da la **pendiente** de la solución en cada punto. La condición inicial elige **una** solución entre las infinitas posibles.

### Campo de direcciones

Dibujando en muchos puntos una rayita con la pendiente $f(x, y)$ se ve el "flujo" de las soluciones: cada solución es una curva que sigue las rayitas.

### Método de Euler

Avanza un paso $h$ en la dirección de la pendiente actual:

$$
y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n, y_n)
$$

Es sencillo, pero se va desviando porque la pendiente cambia durante el paso.

### Método de Heun (Euler mejorado)

Hace un paso de prueba con Euler, calcula la pendiente al final y usa la **media** de las dos:

$$
k_1 = f(x_n, y_n) \quad k_2 = f(x_n + h,\ y_n + h k_1) \quad y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(k_1 + k_2)
$$

### Runge-Kutta de orden 4

Combina cuatro pendientes, al principio, dos en el medio y al final:

$$
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)
$$

Es el método estándar: muy preciso con pocos pasos.

### Orden de un método

Un método de orden $p$ tiene un error global proporcional a $h^p$:

| Método | Orden | Al dividir h entre 2, el error se divide entre |
| - | - | - |
| Euler | 1 | 2 |
| Heun | 2 | 4 |
| RK4 | 4 | 16 |

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Euler" defaultOpen>
    $y' = y$, $y(0) = 1$, $h = 0{,}5$. ¿Cuánto vale $y(1)$?

    $y_1 = 1 + 0{,}5 \cdot 1 = 1{,}5$; $y_2 = 1{,}5 + 0{,}5 \cdot 1{,}5 = 2{,}25$.

    Exacto: $e \approx 2{,}718$. Error: 0,47.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Heun">
    Mismo problema. Paso 1: $k_1 = 1$, $k_2 = 1{,}5$, $y_1 = 1 + 0{,}25 \cdot 2{,}5 = 1{,}625$. Paso 2: $y_2 = 2{,}641$. Error: 0,078, seis veces menor.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · RK4">
    Para $y' = y$, cada paso de RK4 multiplica por $1 + h + \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{6} + \frac{h^4}{24} = 1{,}6484$. Dos pasos: $2{,}7173$. Error: 0,0009, con los mismos dos pasos.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="El campo de direcciones">
    Con $y' = x - y$, mueve la condición inicial. ¿A qué recta se acercan todas las soluciones?
  </Step>

  <Step title="Orden">
    Con $h = 0{,}5$ y luego $h = 0{,}25$, compara los errores de los tres métodos. ¿Se dividen entre 2, 4 y 16?
  </Step>

  <Step title="Paso demasiado grande">
    Con $y' = -2xy$, sube $h$ a 1 o más. ¿Qué le pasa a Euler?
  </Step>

  <Step title="Logística">
    Con $y' = y(1 - y)$, prueba condiciones iniciales entre 0 y 2. ¿Hacia dónde van?
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Usar la pendiente en el punto siguiente** en el método de Euler (es la del punto actual).
* **Pensar que un paso más pequeño siempre compensa** un método peor: RK4 con pasos grandes suele ganar a Euler con pasos pequeños.
* **Olvidar la condición inicial**: sin ella hay infinitas soluciones.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Presa y depredador" icon="paw" href="/matematicas/modelos/presa-depredador">
    Un sistema de dos ecuaciones.
  </Card>

  <Card title="Modelo de una epidemia" icon="virus" href="/matematicas/modelos/epidemias">
    El modelo SIR.
  </Card>

  <Card title="Circuitos RC y RL" icon="battery-half" href="/fisica/electricidad/circuitos-rc">
    Una ecuación diferencial en electricidad.
  </Card>
</CardGroup>


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