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# Ecuaciones diferenciales de segundo orden: homogéneas, coeficientes indeterminados y oscilaciones

> Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes: ecuación característica, raíces reales, dobles y complejas, solución particular por coeficientes indeterminados y variación de parámetros, problema de valor inicial, resonancia y aplicación al oscilador amortiguado y al circuito RLC, con ejemplos resueltos.

La segunda ley de Newton, $F = ma$, relaciona una fuerza con la **segunda derivada** de la posición. Por eso un muelle, un péndulo pequeño, la suspensión de un coche o un circuito RLC se describen con una **ecuación diferencial de segundo orden**. Cuando es lineal y con coeficientes constantes, hay un método que la resuelve siempre, y que explica por qué los sistemas oscilan, se amortiguan o entran en resonancia.

## Lo que vas a aprender

* La forma de una EDO lineal de segundo orden y la estructura de su solución.
* Cómo resolver la homogénea con la ecuación característica.
* Los tres casos: raíces reales distintas, raíz doble y raíces complejas.
* Cómo buscar una solución particular por coeficientes indeterminados.
* El método de variación de parámetros.
* La aplicación al oscilador amortiguado, el RLC y la resonancia.

## Fundamentos teóricos

### La ecuación

$$
a\,y'' + b\,y' + c\,y = f(x)
$$

con $a, b, c$ constantes. Si $f(x) = 0$ es **homogénea**; si no, **completa**.

### Estructura de la solución

$$
y = y_h + y_p
$$

* $y_h$: solución general de la homogénea, con **dos constantes** $C_1, C_2$.
* $y_p$: **una** solución particular cualquiera de la completa.

Las constantes se fijan con dos condiciones iniciales, $y(x_0)$ e $y'(x_0)$.

### La homogénea: ecuación característica

Probando $y = e^{rx}$ se obtiene

$$
a\,r^2 + b\,r + c = 0
$$

| Raíces | Solución $y_h$ |
| - | - |
| Reales distintas $r_1 \ne r_2$ | $C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$ |
| Real doble $r$ | $(C_1 + C_2 x)\,e^{rx}$ |
| Complejas $\alpha \pm \beta i$ | $e^{\alpha x}\big(C_1\cos\beta x + C_2\operatorname{sen}\beta x\big)$ |

Las raíces complejas dan **oscilaciones**: $\beta$ es la frecuencia y $\alpha$ dice si crecen ($\alpha > 0$) o se amortiguan ($\alpha < 0$).

### Solución particular: coeficientes indeterminados

Se prueba una $y_p$ "de la misma forma" que $f(x)$, con coeficientes por determinar:

| $f(x)$ | Se prueba $y_p$ |
| - | - |
| Polinomio de grado $n$ | Polinomio de grado $n$ |
| $k\,e^{mx}$ | $A\,e^{mx}$ |
| $k\cos\omega x$ o $k\operatorname{sen}\omega x$ | $A\cos\omega x + B\operatorname{sen}\omega x$ |
| $e^{mx}\cdot$ polinomio | $e^{mx}\cdot$ polinomio del mismo grado |

**Regla de la multiplicidad:** si lo que se prueba ya es solución de la homogénea, se multiplica por $x$ (o por $x^2$ si la raíz es doble). Es el caso de **resonancia**.

### Variación de parámetros

Para cualquier $f(x)$, si $y_1$ e $y_2$ son las soluciones de la homogénea (con $a = 1$):

$$
y_p = -y_1\int\frac{y_2\,f}{W}\,dx + y_2\int\frac{y_1\,f}{W}\,dx \qquad W = y_1 y_2' - y_1' y_2
$$

$W$ es el **wronskiano**. Sirve cuando $f$ es, por ejemplo, $\tan x$ o $\frac{1}{x}$, donde los coeficientes indeterminados no funcionan.

### El oscilador

Masa-muelle-amortiguador ($m\,x'' + c\,x' + k\,x = F(t)$) y circuito RLC serie ($L\,q'' + R\,q' + \frac{q}{C} = V(t)$) son la misma ecuación:

| Mecánica | Electricidad |
| - | - |
| Masa $m$ | Inductancia $L$ |
| Amortiguamiento $c$ | Resistencia $R$ |
| Rigidez $k$ | $1/C$ |
| Posición $x$ | Carga $q$ |

Con $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ y $\zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}}$:

| $\zeta$ | Raíces | Comportamiento |
| - | - | - |
| $\zeta > 1$ | Reales distintas | Sobreamortiguado: vuelve sin oscilar, despacio |
| $\zeta = 1$ | Doble | Amortiguamiento crítico: lo más rápido sin oscilar |
| $\zeta < 1$ | Complejas | Subamortiguado: oscila con amplitud decreciente |
| $\zeta = 0$ | Imaginarias puras | Movimiento armónico simple |

**Resonancia:** sin amortiguamiento y con una fuerza de frecuencia $\omega_0$, la solución particular es $t\operatorname{sen}\omega_0 t$: la amplitud **crece sin límite**.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Raíces reales distintas
>
> $y'' - 5y' + 6y = 0$. Ecuación característica: $r^2 - 5r + 6 = 0 \Rightarrow r = 2, 3$.
>
> $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Raíz doble con condiciones iniciales
>
> $y'' + 4y' + 4y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$. $r^2 + 4r + 4 = (r + 2)^2 \Rightarrow r = -2$ doble.
>
> $y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}$. $y(0) = C_1 = 1$. $y' = (C_2 - 2C_1 - 2C_2x)e^{-2x}$, $y'(0) = C_2 - 2 = 0 \Rightarrow C_2 = 2$.
>
> $y = (1 + 2x)\,e^{-2x}$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Raíces complejas
>
> $y'' + 2y' + 5y = 0$. $r = \frac{-2 \pm\sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \pm 2i$.
>
> $y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\operatorname{sen} 2x)$: oscila con frecuencia 2 y se amortigua.

> [accordion] Ejemplo 4 · Coeficientes indeterminados con polinomio
>
> $y'' - 3y' + 2y = 4x$. Homogénea: $r = 1, 2$, $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$.
>
> Se prueba $y_p = Ax + B$: $0 - 3A + 2(Ax + B) = 4x \Rightarrow 2A = 4$, $-3A + 2B = 0$.
>
> $A = 2$, $B = 3$. Solución: $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + 2x + 3$.

> [accordion] Ejemplo 5 · Exponencial que ya es solución
>
> $y'' - y = e^x$. Homogénea: $r = \pm1$, $y_h = C_1e^x + C_2e^{-x}$. Probar $Ae^x$ no sirve (es solución de la homogénea).
>
> Se prueba $y_p = Axe^x$: $y_p'' = A(x + 2)e^x$. Sustituyendo: $A(x+2)e^x - Axe^x = 2Ae^x = e^x \Rightarrow A = \frac12$.
>
> $y = C_1e^x + C_2e^{-x} + \frac{x}{2}e^x$.

> [accordion] Ejemplo 6 · Oscilador forzado
>
> $x'' + 4x = 3\cos t$. Homogénea: $\omega_0 = 2$. Se prueba $x_p = A\cos t + B\operatorname{sen} t$:
>
> $-A\cos t - B\operatorname{sen} t + 4A\cos t + 4B\operatorname{sen} t = 3\cos t \Rightarrow A = 1$, $B = 0$.
>
> $x = C_1\cos 2t + C_2\operatorname{sen} 2t + \cos t$.
>
> Si la fuerza fuera $3\cos 2t$ (resonancia), habría que probar $t(A\cos 2t + B\operatorname{sen} 2t)$, y saldría $x_p = \frac34 t\operatorname{sen} 2t$, que crece sin límite.

> [accordion] Ejemplo 7 · Variación de parámetros
>
> $y'' + y = \tan x$. $y_1 = \cos x$, $y_2 = \operatorname{sen} x$, $W = 1$.
>
> $y_p = -\cos x\int\operatorname{sen} x\tan x\,dx + \operatorname{sen} x\int\cos x\tan x\,dx$.
>
> $\int\operatorname{sen} x\tan x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| - \operatorname{sen} x$ y $\int\operatorname{sen} x\,dx = -\cos x$.
>
> $y_p = -\cos x\,\ln|\sec x + \tan x|$.

## Errores frecuentes

* **Aplicar las condiciones iniciales solo a $y_h$.** Se aplican a la solución completa $y_h + y_p$.
* **Olvidar multiplicar por $x$** cuando la solución particular propuesta ya es solución de la homogénea.
* **Probar solo $A\cos\omega x$** cuando $f$ es un coseno: hay que poner también el seno.
* **Confundir $\alpha$ y $\beta$** en las raíces complejas: la parte real va en la exponencial y la imaginaria, dentro del seno y el coseno.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Y si los coeficientes no son constantes?
>
> No hay un método general. Algunos tipos tienen solución (ecuación de Euler-Cauchy, $x^2y'' + bxy' + cy = 0$, con $y = x^r$), y otros se resuelven con [series de potencias](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/series-potencias.md), como las ecuaciones de Bessel y Legendre. Si no, [métodos numéricos](https://apuntes.simulab.es/matematicas/modelos/ecuaciones-diferenciales.md).

> [accordion] ¿Por qué se rompió el puente de Tacoma?
>
> Se suele poner como ejemplo de resonancia, pero fue algo más complejo: un fenómeno aeroelástico (*flutter*) en el que el viento y la torsión del tablero se realimentaban. La resonancia "de libro" sí explica por qué los soldados rompen el paso al cruzar un puente y por qué los rascacielos llevan [amortiguadores de masa](https://apuntes.simulab.es/fisica/oscilaciones/amortiguador-masa.md).

> [accordion] ¿Se puede resolver con Laplace?
>
> Sí, y es muy cómodo con condiciones iniciales y fuerzas discontinuas. Lo explica el tema de la [transformada de Laplace](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-laplace.md).

## Temas relacionados

> [card] [Ecuaciones diferenciales](https://apuntes.simulab.es/matematicas/modelos/ecuaciones-diferenciales.md)
>
> Primer orden y métodos numéricos.

> [card] [Movimiento armónico simple](https://apuntes.simulab.es/fisica/oscilaciones/movimiento-armonico.md)
>
> Oscilaciones en el simulador.

> [card] [Circuito RLC](https://apuntes.simulab.es/fisica/electricidad/circuitos-rlc.md)
>
> La misma ecuación en un circuito.


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