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# Modelo SIR de una epidemia: R₀, pico de contagios e inmunidad de grupo

> El modelo SIR explicado: susceptibles, infectados y recuperados, número básico de reproducción R₀, número efectivo Rₜ, pico de contagios, inmunidad de grupo, vacunación y reducción de contactos.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/matematicas/epidemias">
  Cómo crece y se apaga una epidemia según R₀, y qué hacen la vacunación y la reducción de contactos.
</Card>

¿Por qué una epidemia crece primero muy deprisa y luego se apaga sola? ¿Qué porcentaje de la población hay que vacunar para protegerla? ¿Qué significa "aplanar la curva"? El **modelo SIR**, propuesto en 1927 por Kermack y McKendrick, responde con tres ecuaciones y un solo número clave: **R₀**.

## Lo que vas a aprender

* Los tres grupos del modelo SIR y sus ecuaciones.
* Qué son $R_0$ y $R_t$.
* Por qué hay un pico y cuándo llega.
* Qué es la inmunidad de grupo y cómo calcularla.
* El efecto de la vacunación y la reducción de contactos.

## Cómo se usa el simulador

| Control | Qué hace | Rango |
| - | - | - |
| **R₀** | Número básico de reproducción | 0,5 – 8 |
| **Días que se contagia** | Duración del periodo infeccioso | 2 – 21 días |
| **Vacunados al empezar** | Fracción inmune desde el inicio | 0 – 95 % |
| **Reducción de contactos** | Medidas como distancia o mascarillas | 0 – 80 % |

* Arriba, la población como puntos de colores (cada uno es un 0,25 %).
* La gráfica muestra la evolución de S, I y R, con los infectados ampliados abajo y el umbral de inmunidad de grupo.
* El panel da el **pico de infectados**, el **día del pico**, el **total de contagiados**, la **inmunidad de grupo**, $R_t$ y los infectados de cada día.

## Fundamentos teóricos

### Los tres grupos

* **S** (susceptibles): pueden contagiarse.
* **I** (infectados): pueden contagiar.
* **R** (recuperados): ya no se contagian ni contagian.

Con $S + I + R = 1$ (fracciones de la población):

$$
S' = -\beta S I \qquad I' = \beta S I - \gamma I \qquad R' = \gamma I
$$

$\beta$ mide los contagios por contacto y $\gamma = 1/D$, con $D$ la duración del contagio.

### R₀ y Rₜ

$$
R_0 = \frac{\beta}{\gamma}
$$

Es el número medio de personas que contagia un infectado **al principio**, cuando todos son susceptibles. Con el tiempo, el número **efectivo** es $R_t = R_0\,S$.

* $R_t > 1$: la epidemia crece.
* $R_t < 1$: la epidemia decrece.

### El pico

Los infectados son máximos cuando $I' = 0$, es decir, cuando $S = 1/R_0$. A partir de ahí cada infectado contagia a menos de una persona.

### Inmunidad de grupo

Si una fracción $v$ es inmune desde el principio, $R_t = R_0(1 - v)$. Para que la epidemia no crezca:

$$
v > 1 - \frac{1}{R_0}
$$

| Enfermedad | $R_0$ aproximado | Inmunidad de grupo |
| - | - | - |
| Gripe estacional | 1,3 | 23 % |
| COVID-19 (variante original) | 2,5 – 3 | 60 – 67 % |
| Sarampión | 12 – 18 | 92 – 94 % |

### Aplanar la curva

Reducir contactos baja $\beta$ y por tanto $R_0$ efectivo: el pico es **más bajo y más tardío**, y el total de contagiados también baja. Así no se saturan los hospitales.

### Tamaño final

Sin intervención, la fracción que acaba contagiándose $z$ cumple $z = 1 - e^{-R_0 z}$. Con $R_0 = 2{,}5$, $z \approx 89\,\%$: **la epidemia se apaga antes de contagiar a todos**.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Inmunidad de grupo" defaultOpen>
    Con $R_0 = 2{,}5$: $v > 1 - 1/2{,}5 = 0{,}6$. Hay que vacunar a más del 60 % (con una vacuna eficaz al 100 %).
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Cuándo llega el pico">
    Con $R_0 = 2{,}5$, el pico llega cuando los susceptibles bajan al $1/2{,}5 = 40\,\%$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Sarampión">
    Con $R_0 = 15$: $1 - 1/15 = 93\,\%$. Por eso un pequeño descenso en la vacunación provoca brotes.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="R₀ por debajo de 1">
    Pon $R_0 = 0{,}9$. ¿Crece la epidemia?
  </Step>

  <Step title="Aplanar la curva">
    Con $R_0 = 2{,}5$, reduce los contactos un 30 %. ¿Cómo cambian la altura y el día del pico?
  </Step>

  <Step title="Vacunar">
    Vacuna al 50 % y al 65 %. ¿En cuál de los dos se apaga la epidemia desde el principio?
  </Step>

  <Step title="No todos se contagian">
    Sin medidas, mira el total de contagiados. ¿Llega al 100 %?
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Confundir $R_0$ con $R_t$.**
* **Pensar que la epidemia termina cuando todos se han contagiado.** Termina cuando $R_t < 1$.
* **Olvidar las limitaciones del modelo**: supone mezcla homogénea, inmunidad permanente y población cerrada.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Presa y depredador" icon="paw" href="/matematicas/modelos/presa-depredador">
    Otro modelo de poblaciones.
  </Card>

  <Card title="Ecuaciones diferenciales" icon="chart-line" href="/matematicas/modelos/ecuaciones-diferenciales">
    Cómo se resuelven estos modelos.
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  <Card title="Interés compuesto" icon="calculator" href="/matematicas/proporcionalidad/interes">
    Crecimiento exponencial.
  </Card>
</CardGroup>


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