> ## Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# Modelo presa-depredador de Lotka-Volterra: oscilaciones y plano de fases

> Las ecuaciones de Lotka-Volterra explicadas: poblaciones de presas y depredadores que oscilan, punto de equilibrio, plano de fases, capacidad de carga y crecimiento logístico.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/matematicas/presa-depredador">
  Conejos y zorros con las ecuaciones de Lotka-Volterra: poblaciones en el tiempo y plano de fases.
</Card>

Los registros de pieles de la Compañía de la Bahía de Hudson muestran algo curioso: las capturas de linces y de liebres subían y bajaban en ciclos de unos diez años, con los linces siempre un poco por detrás. Alfred Lotka y Vito Volterra explicaron este tipo de ciclos, por separado, en los años 1920 con un sistema de **dos ecuaciones diferenciales**. Es el ejemplo clásico de cómo dos poblaciones que dependen una de otra pueden **oscilar** sin que nadie las empuje.

## Lo que vas a aprender

* Las ecuaciones de Lotka-Volterra y el significado de cada término.
* Por qué las poblaciones oscilan y los depredadores van con retraso.
* Calcular el punto de equilibrio.
* Leer el plano de fases.
* El efecto de la capacidad de carga (crecimiento logístico).

## Cómo se usa el simulador

| Control | Qué representa | Rango |
| - | - | - |
| **a · natalidad de las presas** | Crecimiento de las presas sin depredadores | 0,1 – 3 |
| **b · caza** | Presas eliminadas por encuentro | 0,01 – 1 |
| **c · mortalidad de los depredadores** | Muertes de depredadores sin comida | 0,1 – 3 |
| **d · crías por presa comida** | Crecimiento de los depredadores por encuentro | 0,01 – 1 |
| **K · capacidad de carga** | Máximo de presas que admite el medio (0 = sin límite) | 0 – 200 |
| **Presas y depredadores al inicio** | Poblaciones iniciales | 1 – 100 |

* La gráfica **Poblaciones en el tiempo** muestra las dos curvas.
* El **plano de fases** dibuja la trayectoria (presas, depredadores), con el equilibrio como un círculo vacío.
* El panel da las poblaciones actuales, el **equilibrio** y el **periodo** del ciclo.

## Fundamentos teóricos

### Las ecuaciones

$$
x' = a\,x - b\,x\,y \qquad y' = d\,x\,y - c\,y
$$

* $x$: presas. Crecen a ritmo $a\,x$ si no hay depredadores.
* $y$: depredadores. Mueren a ritmo $c\,y$ si no hay presas.
* $x\,y$: número de **encuentros**. Cada uno elimina presas ($-b\,xy$) y alimenta depredadores ($+d\,xy$).

### El ciclo

1. Muchas presas → los depredadores tienen comida y aumentan.
2. Muchos depredadores → se comen las presas, que disminuyen.
3. Pocas presas → los depredadores pasan hambre y disminuyen.
4. Pocos depredadores → las presas se recuperan. Vuelta a empezar.

El máximo de depredadores llega **después** del de presas: primero tiene que haber comida.

### Equilibrio

Las dos derivadas se anulan (con $x, y > 0$) en:

$$
x^* = \frac{c}{d} \qquad y^* = \frac{a}{b}
$$

Paradoja: si mejora la natalidad de las presas ($a$), en el equilibrio **no hay más presas, sino más depredadores**.

### Plano de fases

Dibujando $y$ frente a $x$, el estado del sistema recorre una **curva cerrada** alrededor del equilibrio: el ciclo se repite siempre igual. Para oscilaciones pequeñas, el periodo es aproximadamente $2\pi/\sqrt{ac}$.

### Capacidad de carga

En la realidad, las presas no pueden crecer sin límite. Con crecimiento **logístico**:

$$
x' = a\,x\left(1 - \frac{x}{K}\right) - b\,x\,y
$$

Ahora las oscilaciones **se amortiguan**: la trayectoria en el plano de fases es una **espiral** que se cierra hacia el equilibrio.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Equilibrio" defaultOpen>
    Con $a = 1$, $b = 0{,}1$, $c = 1{,}5$, $d = 0{,}075$:

    $x^* = 1{,}5/0{,}075 = 20$ presas; $y^* = 1/0{,}1 = 10$ depredadores.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Periodo aproximado">
    Para oscilaciones pequeñas: $T \approx 2\pi/\sqrt{1 \cdot 1{,}5} = 5{,}13$. Con oscilaciones grandes, como las del simulador, el periodo es algo mayor (5,48).
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · La paradoja">
    Si $a$ pasa de 1 a 2: $x^*$ sigue siendo 20, pero $y^*$ pasa de 10 a 20.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="El retraso">
    Observa la gráfica temporal. ¿Cuánto van retrasados los máximos de depredadores?
  </Step>

  <Step title="Empezar en el equilibrio">
    Pon 20 presas y 10 depredadores al inicio. ¿Qué pasa?
  </Step>

  <Step title="Ciclos más grandes">
    Empieza lejos del equilibrio. ¿Cómo cambia la curva del plano de fases?
  </Step>

  <Step title="Capacidad de carga">
    Pon K = 60. ¿Qué forma tiene ahora la trayectoria en el plano de fases?
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Pensar que el equilibrio depende de las poblaciones iniciales.** Solo depende de $a$, $b$, $c$ y $d$.
* **Confundir los papeles** de $b$ y $d$.
* **Esperar que las poblaciones se estabilicen** en el modelo sin capacidad de carga: oscilan para siempre.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Modelo de una epidemia" icon="virus" href="/matematicas/modelos/epidemias">
    Otro modelo con encuentros entre grupos.
  </Card>

  <Card title="Ecuaciones diferenciales" icon="chart-line" href="/matematicas/modelos/ecuaciones-diferenciales">
    Métodos numéricos para resolverlo.
  </Card>

  <Card title="Péndulos acoplados" icon="link" href="/fisica/oscilaciones/pendulos-acoplados">
    Otro sistema que oscila.
  </Card>
</CardGroup>


This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.