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# Descomposición en factores primos paso a paso

> Cómo descomponer un número en factores primos con divisiones sucesivas, criterios de divisibilidad, cómo saber si un número es primo y cómo contar sus divisores. Con ejemplos.

<Card title="Abrir la calculadora" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/factorizacion">
  Factoriza un número en primos con las divisiones paso a paso y cuenta sus divisores.
</Card>

Los números primos son los "átomos" de la aritmética: todo número natural mayor que 1 se puede escribir, de una única manera, como producto de primos. Esa **descomposición** es la base para calcular el MCD y el MCM, simplificar fracciones y raíces, y contar divisores.

## Cómo se usa la calculadora

1. Escribe un número natural.
2. Obtienes su descomposición en potencias de primos, el **número de divisores**, si **es primo** y la columna de divisiones paso a paso.

## Fundamentos teóricos

### Números primos y compuestos

* Un número **primo** solo tiene dos divisores: 1 y él mismo. Los primeros: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
* Un número **compuesto** tiene más de dos divisores.
* El 1 no es ni primo ni compuesto.

### Teorema fundamental de la aritmética

Todo número natural mayor que 1 se descompone en producto de primos **de forma única** (salvo el orden).

### Método de las divisiones sucesivas

1. Divide el número entre el **menor primo** que lo divida (2, 3, 5, 7…).
2. Repite con el cociente.
3. Cuando llegues a 1, los divisores usados son los factores primos.

Basta probar primos hasta $\sqrt n$: si ninguno divide a $n$, es primo.

### Criterios de divisibilidad

| Entre | Si… |
| - | - |
| 2 | Termina en cifra par |
| 3 | La suma de sus cifras es múltiplo de 3 |
| 5 | Termina en 0 o 5 |
| 7 | Quitando la última cifra y restando su doble sale múltiplo de 7 |
| 11 | La diferencia entre la suma de cifras en lugar par e impar es múltiplo de 11 |

### Número de divisores

Si $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$, el número de divisores es:

$$
(a_1 + 1)(a_2 + 1)\cdots(a_k + 1)
$$

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · 360" defaultOpen>
    $360 : 2 = 180$; $180 : 2 = 90$; $90 : 2 = 45$; $45 : 3 = 15$; $15 : 3 = 5$; $5 : 5 = 1$.

    $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$. Divisores: $(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · ¿Es primo 97?">
    $\sqrt{97} \approx 9{,}8$: basta probar 2, 3, 5 y 7. Ninguno lo divide: **97 es primo**.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Simplificar una raíz">
    $\sqrt{72} = \sqrt{2^3 \cdot 3^2} = 2 \cdot 3\sqrt2 = 6\sqrt2$.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Considerar el 1 como primo.**
* **Dejar factores compuestos** (por ejemplo, poner 4 o 9 en la descomposición).
* **Olvidar el último factor** cuando el cociente ya es primo.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="MCD y MCM" icon="calculator" href="/matematicas/numeros/mcd-mcm">
    A partir de las factorizaciones.
  </Card>

  <Card title="Calculadora de fracciones" icon="calculator" href="/matematicas/numeros/fracciones">
    Simplificar con factores primos.
  </Card>

  <Card title="Potencias y raíces" icon="calculator" href="/matematicas/numeros/potencias-raices">
    Simplificar radicales.
  </Card>
</CardGroup>


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