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# Logaritmos: definición, propiedades, cambio de base y ejemplos resueltos

> Los logaritmos explicados: qué es un logaritmo, logaritmos decimales y neperianos, propiedades del producto, cociente y potencia, cambio de base, la función logarítmica y sus aplicaciones (pH, decibelios, terremotos, interés), con ejemplos resueltos paso a paso.

Un logaritmo responde a la pregunta: **¿a qué exponente hay que elevar un número para obtener otro?** Si $2^5 = 32$, el logaritmo en base 2 de 32 es 5. Los logaritmos convierten productos en sumas y potencias en productos, y por eso sirvieron durante siglos para hacer cuentas difíciles a mano. Hoy aparecen en las escalas que manejan cantidades enormes: el pH, los decibelios, la escala de los terremotos o el crecimiento de una inversión.

## Lo que vas a aprender

* La definición de logaritmo y su relación con las potencias.
* Los logaritmos decimales y neperianos.
* Las propiedades del producto, del cociente y de la potencia.
* El cambio de base.
* La función logarítmica y su gráfica.
* Dónde se usan los logaritmos.

## Fundamentos teóricos

### Definición

$$
\log_a x = y \iff a^y = x
$$

con $a > 0$, $a \ne 1$ y $x > 0$. El logaritmo es el **exponente**.

| Expresión | Valor | Porque |
| - | - | - |
| $\log_2 8$ | 3 | $2^3 = 8$ |
| $\log_{10} 1000$ | 3 | $10^3 = 1000$ |
| $\log_3 \frac19$ | −2 | $3^{-2} = \frac19$ |
| $\log_5 \sqrt5$ | $\frac12$ | $5^{1/2} = \sqrt5$ |
| $\log_a 1$ | 0 | $a^0 = 1$ |
| $\log_a a$ | 1 | $a^1 = a$ |

**No existen** los logaritmos de números negativos ni de 0: ninguna potencia de una base positiva da un número negativo o cero.

### Logaritmos más usados

* **Decimal:** base 10. Se escribe $\log x$ (o $\lg x$).
* **Neperiano o natural:** base $e \approx 2{,}71828$. Se escribe $\ln x$. Es el de las matemáticas avanzadas y la física, porque $(\ln x)' = \frac1x$.
* **Binario:** base 2, en informática: $\log_2 n$ es el número de bits para representar $n$ valores y el número de pasos de una búsqueda binaria.

### Propiedades

| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
| - | - | - |
| Producto | $\log_a(x\cdot y) = \log_a x + \log_a y$ | $\log 20 = \log 2 + \log 10$ |
| Cociente | $\log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ | $\log_2\frac{32}{4} = 5 - 2 = 3$ |
| Potencia | $\log_a x^n = n\log_a x$ | $\log 10^7 = 7$ |
| Raíz | $\log_a\sqrt[n]{x} = \frac1n\log_a x$ | $\log\sqrt{1000} = 1{,}5$ |
| Inversas | $a^{\log_a x} = x$ y $\log_a a^x = x$ | $e^{\ln 5} = 5$ |

**No hay** propiedad para la suma: $\log(x + y) \ne \log x + \log y$.

### Cambio de base

$$
\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} = \frac{\ln x}{\ln a}
$$

Así se calcula cualquier logaritmo con la tecla `log` o `ln` de la calculadora.

### La función logarítmica

$f(x) = \log_a x$ es la **inversa** de la exponencial $a^x$: su gráfica es la simétrica respecto de la recta $y = x$.

* Dominio: $(0, \infty)$. Recorrido: todos los reales.
* Pasa por $(1, 0)$ y por $(a, 1)$.
* Si $a > 1$, es creciente y crece muy despacio; si $0 < a < 1$, es decreciente.
* Tiene una asíntota vertical en $x = 0$.

### Escalas logarítmicas

| Escala | Fórmula | Qué significa una unidad |
| - | - | - |
| pH | $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$ | Factor 10 en la acidez |
| Decibelios | $L = 10\log\frac{P}{P_0}$ | 10 dB = factor 10 en potencia |
| Magnitud de un terremoto | $M \propto \log E$ | Una unidad ≈ 32 veces más energía |
| Magnitud de las estrellas | $m = -2{,}5\log\frac{F}{F_0}$ | 5 magnitudes = factor 100 en brillo |

Puedes practicar con la [calculadora de decibelios](https://apuntes.simulab.es/electronica/componentes/decibelios.md) y la [calculadora de pH](https://apuntes.simulab.es/quimica/calculadoras/ph.md).

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Calcular logaritmos sin calculadora
>
> $\log_2 64 = 6$, porque $2^6 = 64$.
>
> $\log_4 8$: $4^y = 8 \Rightarrow 2^{2y} = 2^3 \Rightarrow y = \frac32$.
>
> $\log 0{,}001 = \log 10^{-3} = -3$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Aplicar las propiedades
>
> Sabiendo $\log 2 \approx 0{,}301$ y $\log 3 \approx 0{,}477$, calcula $\log 72$.
>
> $72 = 2^3\cdot3^2$: $\log 72 = 3\log 2 + 2\log 3 = 0{,}903 + 0{,}954 = 1{,}857$.
>
> Y $\log 5 = \log\frac{10}{2} = 1 - 0{,}301 = 0{,}699$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Desarrollar una expresión
>
> $\ln\frac{x^3\sqrt{y}}{z^2} = 3\ln x + \frac12\ln y - 2\ln z$.

> [accordion] Ejemplo 4 · Agrupar en un solo logaritmo
>
> $2\log x - \log y + 3\log 2 = \log x^2 - \log y + \log 8 = \log\frac{8x^2}{y}$.

> [accordion] Ejemplo 5 · Cambio de base
>
> $\log_3 50 = \frac{\ln 50}{\ln 3} = \frac{3{,}912}{1{,}099} = 3{,}561$. Comprobación: $3^{3{,}561} \approx 50$.

> [accordion] Ejemplo 6 · ¿Cuántas cifras tiene 2¹⁰⁰?
>
> $\log 2^{100} = 100\cdot0{,}30103 = 30{,}103$. Un número con logaritmo entre 30 y 31 tiene **31 cifras**. Efectivamente, $2^{100} \approx 1{,}27\cdot10^{30}$.

## Errores frecuentes

* **Pensar que $\log(x + y) = \log x + \log y$.** La propiedad del producto es para productos.
* **Calcular logaritmos de números negativos o de cero.**
* **Confundir $\log x^2$ con $(\log x)^2$.** El primero es $2\log x$.
* **Usar `log` de la calculadora cuando se pide `ln`**, o al revés.
* **Dividir logaritmos como si fuera la propiedad del cociente:** $\frac{\log x}{\log y}$ no es $\log\frac{x}{y}$; es un cambio de base, $\log_y x$.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Por qué el número e es tan importante?
>
> Porque $e^x$ es la única función exponencial que es su propia derivada, y por eso aparece en todos los procesos que crecen o decrecen en proporción a su tamaño: poblaciones, interés continuo, desintegración radiactiva, carga de un condensador. Su inversa, $\ln x$, es el logaritmo "natural" por la misma razón.

> [accordion] ¿Cómo se calculaban los logaritmos antes de las calculadoras?
>
> Con tablas de logaritmos, publicadas por primera vez por John Napier en 1614 y Henry Briggs poco después. Para multiplicar dos números se buscaban sus logaritmos, se sumaban y se buscaba el antilogaritmo. La regla de cálculo, usada por los ingenieros hasta los años 70, hacía lo mismo con dos reglas en escala logarítmica.

## Temas relacionados

> [card] [Potencias y raíces](https://apuntes.simulab.es/matematicas/numeros/potencias-raices.md)
>
> Las propiedades de las potencias.

> [card] [Ecuaciones exponenciales y logarítmicas](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra/ecuaciones-exponenciales.md)
>
> Resolver ecuaciones con logaritmos.

> [card] [Interés simple y compuesto](https://apuntes.simulab.es/matematicas/proporcionalidad/interes.md)
>
> Calcular plazos con logaritmos.


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