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# Calculadora de MCD y MCM: factorización y algoritmo de Euclides

> Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números por factorización en primos y por el algoritmo de Euclides. Relación MCD · MCM = a · b y problemas resueltos.

<Card title="Abrir la calculadora" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/mcd-mcm">
  MCD y MCM de dos números, por factorización y por Euclides.
</Card>

El **máximo común divisor** (MCD) sirve para repartir en partes iguales lo más grandes posible y para simplificar fracciones. El **mínimo común múltiplo** (MCM), para saber cuándo coinciden dos cosas que se repiten y para sumar fracciones.

## Cómo se usa la calculadora

1. Escribe los dos números.
2. Obtienes el MCD y el MCM, la factorización de cada número y los pasos del algoritmo de Euclides.

## Fundamentos teóricos

### Definiciones

* **MCD(a, b)**: el mayor número que divide a los dos.
* **MCM(a, b)**: el menor número (distinto de cero) que es múltiplo de los dos.

### Por factorización

Descompón los dos números en factores primos:

* **MCD**: factores **comunes** elevados al **menor** exponente.
* **MCM**: factores **comunes y no comunes** elevados al **mayor** exponente.

### Algoritmo de Euclides

Para el MCD de números grandes, sin factorizar:

1. Divide el mayor entre el menor.
2. Sustituye el mayor por el menor y el menor por el resto.
3. Repite hasta que el resto sea 0. El último divisor es el MCD.

Funciona porque $\text{MCD}(a, b) = \text{MCD}(b, a \bmod b)$.

### Relación entre los dos

$$
\text{MCD}(a, b) \cdot \text{MCM}(a, b) = a \cdot b
$$

Si $\text{MCD} = 1$, los números son **primos entre sí** y su MCM es su producto.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · 84 y 60" defaultOpen>
    $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$; $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

    MCD $= 2^2 \cdot 3 = 12$. MCM $= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.

    Euclides: $84 = 1 \cdot 60 + 24$; $60 = 2 \cdot 24 + 12$; $24 = 2 \cdot 12 + 0$ → MCD = 12. Comprobación: $12 \cdot 420 = 5040 = 84 \cdot 60$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Problema de MCD">
    Tenemos 84 caramelos de fresa y 60 de limón y queremos hacer bolsas iguales, con el mayor número posible de caramelos y sin mezclar sabores. ¿Cuántos caramelos van en cada bolsa?

    MCD(84, 60) = 12 caramelos por bolsa: 7 bolsas de fresa y 5 de limón.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Problema de MCM">
    Un autobús pasa cada 12 minutos y otro cada 18. Si coinciden a las 9:00, ¿cuándo vuelven a coincidir?

    MCM(12, 18) = 36 minutos: a las 9:36.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Confundir cuál es cuál**: en el MCD los exponentes **menores**; en el MCM, los **mayores**.
* **Olvidar los factores no comunes** en el MCM.
* **Usar el MCM cuando el problema pide repartir** (es el MCD) y al revés.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Factores primos" icon="calculator" href="/matematicas/numeros/factorizacion">
    Descompón cada número.
  </Card>

  <Card title="Calculadora de fracciones" icon="calculator" href="/matematicas/numeros/fracciones">
    MCD para simplificar, MCM para sumar.
  </Card>

  <Card title="Tablas de multiplicar (Infantil)" icon="table" href="/infantil/matematicas/tablas">
    La base de los múltiplos.
  </Card>
</CardGroup>


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