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# Números complejos: forma binómica y polar, operaciones y raíces
> Números complejos paso a paso: forma binómica y polar, módulo y argumento, suma, resta, producto, cociente con el conjugado, potencias con De Moivre y raíces n-ésimas en el plano complejo.
Opera con números complejos paso a paso y míralos en el plano: arrastra z y w.
¿Cuál es la raíz cuadrada de −1? Ningún número real elevado al cuadrado da negativo. Los matemáticos del siglo XVI inventaron un número nuevo, $i$, con $i^2 = -1$, para resolver ecuaciones de tercer grado. Lo que parecía un truco resultó ser imprescindible: los **números complejos** se usan en electricidad, en mecánica cuántica, en el procesado de señales y en el diseño de aviones.
## Lo que vas a aprender
* Qué es un número complejo y cómo se representa.
* Pasar de forma binómica a polar y al revés.
* Sumar, restar, multiplicar y dividir.
* Calcular potencias con la fórmula de De Moivre.
* Calcular las raíces n-ésimas.
## Cómo se usa el simulador
1. Elige la operación: **suma**, **resta**, **producto**, **cociente**, **potencia** o **raíces**.
2. Escribe la parte real e imaginaria de $z$ y $w$, o **arrástralos** por el plano.
3. Verás $z$ y $w$ en forma binómica y polar, el conjugado y el opuesto, el resultado y el **paso a paso**, con todo dibujado en el plano complejo.
## Fundamentos teóricos
### Forma binómica
$$
z = a + b\,i \qquad i^2 = -1
$$
$a$ es la **parte real** y $b$ la **imaginaria**. Se dibuja como el punto $(a, b)$ del plano complejo.
* **Conjugado**: $\bar z = a - b\,i$ (simétrico respecto al eje real).
* **Opuesto**: $-z = -a - b\,i$.
### Forma polar
$$
z = r_\alpha \qquad r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad \alpha = \arctan\frac{b}{a}
$$
El **módulo** es la distancia al origen y el **argumento**, el ángulo con el eje real. Hay que **corregir el cuadrante**: si $a < 0$, se suman 180°; si $a > 0$ y $b < 0$, 360°.
De polar a binómica: $a = r\cos\alpha$, $b = r\sin\alpha$.
### Operaciones
| Operación | Mejor en | Cómo |
| - | - | - |
| Suma y resta | Binómica | Partes reales con reales e imaginarias con imaginarias |
| Producto | Polar | Se multiplican módulos y se **suman** argumentos |
| Cociente | Polar | Se dividen módulos y se **restan** argumentos |
| Potencia | Polar | $(r_\alpha)^n = (r^n)_{n\alpha}$ (De Moivre) |
En binómica, el cociente se hace multiplicando arriba y abajo por el **conjugado del denominador**.
### Raíces n-ésimas
Un complejo no nulo tiene **exactamente $n$ raíces n-ésimas**:
$$
\sqrt[n]{r_\alpha} = \left(\sqrt[n]{r}\right)_{\frac{\alpha + 360°k}{n}}, \quad k = 0, 1, \dots, n - 1
$$
Forman un **polígono regular** de $n$ lados centrado en el origen.
## Ejemplos resueltos
$(3 + 2i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 2i - 4i^2 = 7 - 4i$.
En polar: $3{,}606_{33{,}69°} \cdot 2{,}236_{296{,}57°} = 8{,}062_{330{,}26°}$.
$\dfrac{3 + 2i}{1 - 2i} = \dfrac{(3 + 2i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \dfrac{-1 + 8i}{5} = -0{,}2 + 1{,}6i$.
$(1 + i)^8$: $1 + i = \sqrt2_{45°}$. $(\sqrt2)^8 = 16$ y $8 \cdot 45° = 360°$. Resultado: $16$.
$8 = 8_{0°}$. Raíces: $2_{0°}$, $2_{120°}$ y $2_{240°}$, es decir, $2$, $-1 + \sqrt3\,i$ y $-1 - \sqrt3\,i$. Forman un triángulo equilátero.
## Errores frecuentes
* **Olvidar que $i^2 = -1$** al multiplicar.
* **No corregir el cuadrante** del argumento.
* **Dar solo una raíz** cuando hay $n$.
* **Sumar en forma polar** sumando módulos.
## Herramientas relacionadas
Soluciones complejas.
Impedancias y fasores.
Multiplicar por un complejo es girar y escalar.
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