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# Calculadora de potencias y raíces: propiedades y exponentes

> Calcula potencias de cualquier exponente (negativo o fraccionario) y raíces de cualquier índice. Propiedades de las potencias, raíces como potencias, simplificar radicales y ejemplos.

<Card title="Abrir la calculadora" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/potencias-raices">
  Potencias de cualquier exponente y raíces de cualquier índice.
</Card>

Una potencia es una multiplicación repetida: $2^{10}$ es multiplicar 2 por sí mismo diez veces. Las raíces deshacen las potencias. Con unas pocas propiedades se pueden simplificar expresiones enormes, y entendiendo los exponentes negativos y fraccionarios, potencias y raíces se convierten en lo mismo.

## Cómo se usa la calculadora

* **Potencia**: escribe la **base** y el **exponente** (puede ser negativo o decimal).
* **Raíz**: escribe el **radicando** y el **índice**.
* Obtienes el resultado con la operación.

## Fundamentos teóricos

### Definición

$$
a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n\ \text{veces}} \qquad a^0 = 1 \ (a \ne 0) \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}
$$

### Propiedades

| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
| - | - | - |
| Producto, misma base | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ |
| Cociente, misma base | $a^m : a^n = a^{m-n}$ | $5^6 : 5^2 = 5^4$ |
| Potencia de potencia | $(a^m)^n = a^{m\,n}$ | $(3^2)^3 = 3^6$ |
| Producto, mismo exponente | $a^n \cdot b^n = (a\,b)^n$ | $2^3 \cdot 5^3 = 10^3$ |
| Cociente, mismo exponente | $a^n : b^n = (a/b)^n$ | $6^2 : 3^2 = 2^2$ |

No hay propiedad para la **suma**: $2^3 + 2^4 \ne 2^7$.

### Signo

* Base negativa con exponente **par**: resultado positivo. $(-2)^4 = 16$.
* Base negativa con exponente **impar**: negativo. $(-2)^3 = -8$.
* Ojo: $-2^4 = -16$, porque el exponente solo afecta al 2.

### Raíces

$\sqrt[n]{a} = b$ si $b^n = a$. Una raíz es una potencia de exponente fraccionario:

$$
\sqrt[n]{a} = a^{1/n} \qquad \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}
$$

* Las raíces de índice **par** de números negativos **no son reales**.
* Las de índice **impar** sí: $\sqrt[3]{-8} = -2$.

### Simplificar radicales

Se extraen los factores que tienen exponente mayor o igual que el índice: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt2$.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Potencias" defaultOpen>
    $2^{10} = 1024$; $2^{-3} = 1/8 = 0{,}125$; $10^0 = 1$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Exponente fraccionario">
    $8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Simplificar">
    $\dfrac{2^5 \cdot 2^{-2}}{2^4} = 2^{5 - 2 - 4} = 2^{-1} = \dfrac12$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Raíces">
    $\sqrt[3]{-8} = -2$; $\sqrt{50} = 5\sqrt2 \approx 7{,}07$; $\sqrt[4]{81} = 3$.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Multiplicar la base por el exponente**: $2^3 = 8$, no 6.
* **Pensar que un exponente negativo da un resultado negativo**: $2^{-3}$ es positivo.
* **Sumar exponentes de bases distintas**: $2^3 \cdot 3^2$ no se simplifica así.
* **Repartir una raíz en una suma**: $\sqrt{9 + 16} = 5$, no $3 + 4$.

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Notación científica" icon="calculator" href="/matematicas/numeros/notacion-cientifica">
    Potencias de 10.
  </Card>

  <Card title="Factores primos" icon="calculator" href="/matematicas/numeros/factorizacion">
    Escribir un número como producto de potencias.
  </Card>

  <Card title="Teorema de Pitágoras" icon="calculator" href="/matematicas/geometria/pitagoras">
    Cuadrados y raíces en geometría.
  </Card>
</CardGroup>


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