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# Transformadas de Laplace y Fourier: temas, ideas clave y simuladores

> Transformadas integrales para ingeniería: transformada de Laplace y resolución de ecuaciones diferenciales, series de Fourier y transformada de Fourier, espectro y convolución.

Una **transformada** cambia el punto de vista de un problema: en lugar de mirar una señal en el tiempo, se mira en **frecuencia**; en lugar de una ecuación diferencial, se resuelve una ecuación algebraica. Laplace y Fourier son las dos herramientas matemáticas que más usan los ingenieros de telecomunicaciones, electrónica, control y mecánica.

## Las ideas clave del bloque

### Laplace: de derivadas a álgebra

$\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$. Al transformar, cada derivada se convierte en una multiplicación por $s$ y las condiciones iniciales entran solas. Se despeja, se descompone en fracciones simples y se vuelve con una tabla.

### Fourier: de tiempo a frecuencia

Toda señal periódica es una suma de senos y cosenos (**serie de Fourier**); toda señal razonable, una integral de ellos (**transformada de Fourier**). El **espectro** dice qué frecuencias contiene la señal y con qué intensidad.

### Convolución y producto

En el tiempo, la salida de un sistema lineal es la **convolución** de la entrada con su respuesta al impulso. En el dominio transformado, es un simple **producto**. Por eso los filtros y los sistemas de control se estudian con funciones de transferencia.

### ¿Cuál uso?

| Herramienta | Para |
| - | - |
| Laplace | Transitorios, condiciones iniciales, estabilidad, control |
| Series de Fourier | Señales periódicas, armónicos |
| Transformada de Fourier | Espectro de señales no periódicas, filtros, comunicaciones |
| Transformada Z | Señales muestreadas y filtros digitales |

## Orden recomendado

**1. Transformada de Laplace**

Tabla, propiedades, fracciones simples y resolución de EDO.

**2. Series de Fourier**

Coeficientes, simetrías, Gibbs y Parseval.

**3. Transformada de Fourier**

Espectro, propiedades, convolución y FFT.

## Temas de este bloque

> [card] [Transformada de Laplace](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-laplace.md)
>
> La transformada de Laplace explicada: definición, tabla de transformadas, linealidad, derivadas, desplazamientos, escalón y delta de Dirac, fracciones simples para la inversa y resolución de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales, con ejemplos resueltos.

> [card] [Series de Fourier](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/series-fourier.md)
>
> Series de Fourier explicadas: desarrollar una función periódica en senos y cosenos, cálculo de los coeficientes, funciones pares e impares, forma compleja, convergencia, fenómeno de Gibbs e identidad de Parseval, con ejemplos resueltos de la onda cuadrada y la diente de sierra.

> [card] [Transformada de Fourier](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-fourier.md)
>
> La transformada de Fourier explicada: de la serie a la integral, espectro de amplitud y fase, pares de transformadas (pulso rectangular, sinc, gaussiana, delta), propiedades, teorema de convolución, principio de incertidumbre y la FFT, con ejemplos resueltos.

## Simuladores relacionados en Simulab

> [card] [Ecuaciones diferenciales](https://simulab.es/matematicas/ecuaciones-diferenciales)
>
> Campo de direcciones de y′ = f(x, y) y métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta 4 paso a paso.

> [card] [Ondas e interferencia](https://simulab.es/fisica/ondas)
>
> Superposición de ondas, interferencia y ondas estacionarias.

> [card] [Circuitos RC y RL](https://simulab.es/fisica/circuitos-rc)
>
> La respuesta exponencial que da Laplace.

> [card] [Paquete de ondas](https://simulab.es/fisica/paquete-ondas)
>
> Duración y ancho de banda: el principio de incertidumbre.


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