> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Series de Fourier: coeficientes, simetrías y fenómeno de Gibbs > Series de Fourier explicadas: desarrollar una función periódica en senos y cosenos, cálculo de los coeficientes, funciones pares e impares, forma compleja, convergencia, fenómeno de Gibbs e identidad de Parseval, con ejemplos resueltos de la onda cuadrada y la diente de sierra. Cualquier señal periódica, por complicada que sea, se puede escribir como **suma de senos y cosenos** de frecuencias múltiplas de la fundamental. Es lo que hace el oído con un acorde y lo que muestra un analizador de espectro. Joseph Fourier lo usó en 1807 para resolver la ecuación del calor, y hoy está detrás de la compresión de audio, el análisis de vibraciones y el estudio de circuitos con señales no sinusoidales. ## Lo que vas a aprender * Cómo se escribe una función periódica como serie de Fourier. * Las fórmulas de los coeficientes y por qué funcionan (ortogonalidad). * Cómo las simetrías par e impar ahorran la mitad del trabajo. * La forma compleja de la serie. * Qué pasa en las discontinuidades (fenómeno de Gibbs) y la identidad de Parseval. ## Fundamentos teóricos ### La serie Para una función de periodo $T$, con frecuencia angular fundamental $\omega_0 = 2\pi/T$: $$ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\Big(a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\operatorname{sen}(n\omega_0 t)\Big) $$ El término $n = 1$ es la **fundamental**; los siguientes son los **armónicos**. ### Coeficientes $$ a_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(n\omega_0 t)\,dt \qquad b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\operatorname{sen}(n\omega_0 t)\,dt $$ Se puede integrar en cualquier intervalo de longitud $T$, por ejemplo $[-T/2, T/2]$. Con esta convención, $\frac{a_0}{2}$ es el **valor medio** de la función. Funcionan por la **ortogonalidad**: la integral en un periodo de $\cos(n\omega_0 t)\cos(m\omega_0 t)$ es 0 si $n \ne m$, igual que con senos y con productos seno-coseno. Al multiplicar la serie por un coseno e integrar, solo sobrevive un término. ### Simetrías | Función | Coeficientes | Serie | | - | - | - | | **Par**, $f(-t) = f(t)$ | $b_n = 0$ | Solo cosenos | | **Impar**, $f(-t) = -f(t)$ | $a_n = 0$ | Solo senos | | **Simetría de media onda**, $f(t + T/2) = -f(t)$ | Solo $n$ impares | Solo armónicos impares | ### Forma compleja Con $e^{j\theta} = \cos\theta + j\operatorname{sen}\theta$: $$ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\,e^{jn\omega_0 t} \qquad c_n = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,e^{-jn\omega_0 t}\,dt $$ Relación con la forma real: $c_0 = \frac{a_0}{2}$ y $c_n = \frac{a_n - j\,b_n}{2}$. El módulo $|c_n|$ es el **espectro de amplitud**. ### Convergencia Si $f$ es continua a trozos con derivada continua a trozos (**condiciones de Dirichlet**): * Donde $f$ es continua, la serie converge a $f(t)$. * En un salto, converge al **punto medio**: $\frac{f(t^-) + f(t^+)}{2}$. ### Fenómeno de Gibbs Cerca de un salto, las sumas parciales **se pasan** alrededor de un **9 %** del tamaño del salto, por muchos términos que se sumen. El pico se estrecha pero no baja. Es la razón de los "anillos" que aparecen en audio e imágenes muy comprimidos. ### Identidad de Parseval La potencia media de la señal es la suma de las de cada armónico: $$ \frac{1}{T}\int_0^T |f(t)|^2\,dt = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n=1}^\infty \left(a_n^2 + b_n^2\right) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2 $$ ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Onda cuadrada > > $f(t) = 1$ en $(0, \pi)$ y $f(t) = -1$ en $(-\pi, 0)$, periodo $2\pi$ ($\omega_0 = 1$). > > Es impar, así que $a_n = 0$. Por simetría: > > $b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \operatorname{sen}(nt)\,dt = \frac{2}{n\pi}(1 - \cos n\pi)$, que vale $\frac{4}{n\pi}$ para $n$ impar y 0 para $n$ par. > > $f(t) = \frac{4}{\pi}\left(\operatorname{sen} t + \frac{\operatorname{sen} 3t}{3} + \frac{\operatorname{sen} 5t}{5} + \cdots\right)$ > [accordion] Ejemplo 2 · Diente de sierra > > $f(t) = t$ en $(-\pi, \pi)$, periodo $2\pi$. Es impar: > > $b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\operatorname{sen}(nt)\,dt = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (integrando por partes). > > $t = 2\left(\operatorname{sen} t - \frac{\operatorname{sen} 2t}{2} + \frac{\operatorname{sen} 3t}{3} - \cdots\right)$ > > Los coeficientes bajan como $1/n$, igual que en la cuadrada: las dos tienen saltos. > [accordion] Ejemplo 3 · Onda triangular > > $f(t) = |t|$ en $(-\pi, \pi)$. Es par, así que $b_n = 0$. > > $a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\,dt = \pi$. $a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\cos(nt)\,dt = \frac{2((-1)^n - 1)}{\pi n^2}$, es decir, $-\frac{4}{\pi n^2}$ para $n$ impar. > > $|t| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\left(\cos t + \frac{\cos 3t}{9} + \frac{\cos 5t}{25} + \cdots\right)$ > > Al ser continua, los coeficientes bajan como $1/n^2$: converge mucho más deprisa. > [accordion] Ejemplo 4 · Una suma famosa con Parseval > > Con la diente de sierra: $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\,dt = \frac{\pi^2}{3}$. > > Por Parseval: $\frac{\pi^2}{3} = \frac12\sum \frac{4}{n^2}$, así que $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. Es el problema de Basilea. > [accordion] Ejemplo 5 · Armónicos en un circuito > > Una onda cuadrada de 1 kHz y amplitud 1 V pasa por un filtro que solo deja pasar hasta 4 kHz. ¿Qué sale? > > Los armónicos están en 1, 3, 5… kHz. Pasan la fundamental ($\frac{4}{\pi} \approx 1{,}27$ V) y el tercero ($\frac{4}{3\pi} \approx 0{,}42$ V): sale una onda redondeada con "hombros". ## Errores frecuentes * **Olvidar el $\frac12$ de $a_0$.** Con la fórmula general de $a_n$, el término constante es $a_0/2$, que es el valor medio. * **Calcular coeficientes que la simetría anula.** Mira primero si la función es par o impar. * **Equivocarse con $\cos n\pi$.** Vale $(-1)^n$; y $\operatorname{sen} n\pi = 0$. * **Pensar que más términos eliminan el pico de Gibbs.** Solo lo estrechan. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Y si la función no es periódica? > > Si está definida en un intervalo, se extiende periódicamente (de forma par o impar, según convenga) y se desarrolla. Si está definida en toda la recta y no se repite, se usa la [transformada de Fourier](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-fourier.md): el periodo se hace infinito y la suma se convierte en integral. > [accordion] ¿Qué tiene que ver con la música? > > Una nota de un instrumento tiene una fundamental (la nota) y armónicos con intensidades propias. Esas intensidades son el **timbre**: un la de 440 Hz en violín y en flauta tiene la misma fundamental pero distinta serie de Fourier. ## Temas relacionados > [card] [Ondas e interferencia](https://apuntes.simulab.es/fisica/ondas/ondas.md) > > Superposición de ondas. > [card] [Transformada de Fourier](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-fourier.md) > > El caso no periódico. > [card] [Filtros y Bode](https://apuntes.simulab.es/electronica/analogica/filtros-bode.md) > > Qué hace un filtro con cada armónico. 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