> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Transformada de Fourier: espectro, propiedades y convolución > La transformada de Fourier explicada: de la serie a la integral, espectro de amplitud y fase, pares de transformadas (pulso rectangular, sinc, gaussiana, delta), propiedades, teorema de convolución, principio de incertidumbre y la FFT, con ejemplos resueltos. La serie de Fourier descompone una señal **periódica** en armónicos. La **transformada** de Fourier hace lo mismo con cualquier señal: un pulso, un golpe o una palabra hablada. El resultado es su **espectro**, que dice qué frecuencias contiene y con qué intensidad. Es la herramienta central del procesado de señal, las telecomunicaciones, la óptica y la mecánica cuántica. ## Lo que vas a aprender * Cómo se pasa de la serie a la transformada de Fourier. * La transformada directa e inversa y el significado del espectro. * Los pares de transformadas que hay que conocer. * Las propiedades: desplazamiento, escalado, modulación y convolución. * La relación entre duración y ancho de banda, y qué es la FFT. ## Fundamentos teóricos ### Definición $$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt \qquad x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega $$ $X(\omega)$ es un número complejo para cada frecuencia: su **módulo** $|X(\omega)|$ es el espectro de amplitud y su **argumento**, el de fase. En ingeniería también se usa la frecuencia $f$ en hercios, con $\omega = 2\pi f$, y entonces desaparece el $\frac{1}{2\pi}$ de la inversa. **De dónde sale:** si en la serie compleja de Fourier se hace crecer el periodo $T \to \infty$, los armónicos $n\omega_0$ se juntan hasta formar un continuo y la suma se convierte en integral. ### Pares de transformadas | $x(t)$ | $X(\omega)$ | | - | - | | $\delta(t)$ | $1$ | | $1$ | $2\pi\,\delta(\omega)$ | | $e^{j\omega_0 t}$ | $2\pi\,\delta(\omega - \omega_0)$ | | $\cos(\omega_0 t)$ | $\pi\,[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]$ | | Pulso rectangular de altura 1 y anchura $\tau$ | $\tau\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{\omega\tau}{2\pi}\right) = \frac{2\operatorname{sen}(\omega\tau/2)}{\omega}$ | | $e^{-at}u(t)$, $a > 0$ | $\frac{1}{a + j\omega}$ | | $e^{-a\lvert t\rvert}$ | $\frac{2a}{a^2+\omega^2}$ | | $e^{-t^2/2}$ | $\sqrt{2\pi}\,e^{-\omega^2/2}$ | Aquí $\operatorname{sinc}(x) = \frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{\pi x}$. La **gaussiana** es su propia transformada. ### Propiedades | Propiedad | Tiempo | Frecuencia | | - | - | - | | Linealidad | $a\,x + b\,y$ | $a\,X + b\,Y$ | | Desplazamiento | $x(t - t_0)$ | $e^{-j\omega t_0}X(\omega)$ | | Modulación | $e^{j\omega_0 t}x(t)$ | $X(\omega - \omega_0)$ | | Escalado | $x(at)$ | $\frac{1}{\lvert a\rvert}X\!\left(\frac{\omega}{a}\right)$ | | Derivada | $x'(t)$ | $j\omega\,X(\omega)$ | | Convolución | $(x * h)(t)$ | $X(\omega)\,H(\omega)$ | | Producto | $x(t)\,y(t)$ | $\frac{1}{2\pi}(X * Y)(\omega)$ | Un retraso no cambia el espectro de amplitud, solo la fase. Y **convolucionar en el tiempo es multiplicar en frecuencia**: así se analiza un filtro. ### Duración y ancho de banda Por la propiedad de escalado, una señal **corta** tiene un espectro **ancho**, y al revés. El producto de la duración por el ancho de banda tiene un mínimo: $$ \Delta t \cdot \Delta\omega \ge \frac12 $$ (con anchuras medidas como desviaciones típicas; la igualdad solo la cumple la gaussiana). En mecánica cuántica es el **principio de incertidumbre** de Heisenberg, que puedes ver en el simulador de [paquete de ondas](https://apuntes.simulab.es/fisica/cuantica/paquete-ondas.md). ### Teorema de Parseval La energía es la misma calculada en el tiempo o en la frecuencia: $$ \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(\omega)|^2\,d\omega $$ ### La transformada discreta y la FFT Un ordenador trabaja con $N$ muestras $x_0, \dots, x_{N-1}$. La **transformada discreta de Fourier** (DFT) es $$ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n\,e^{-j2\pi kn/N} $$ Calcularla directamente cuesta $O(N^2)$ operaciones. La **FFT** (Cooley-Tukey, 1965) usa [divide y vencerás](https://apuntes.simulab.es/programacion/c/divide-y-venceras.md) para hacerlo en $O(N\log N)$: con un millón de muestras, unas 50 000 veces más rápido. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Pulso rectangular > > $x(t) = 1$ si $|t| < \tau/2$ y 0 fuera. > > $X(\omega) = \int_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-j\omega t}\,dt = \frac{e^{j\omega\tau/2} - e^{-j\omega\tau/2}}{j\omega} = \frac{2\operatorname{sen}(\omega\tau/2)}{\omega}$. > > Vale $\tau$ en $\omega = 0$ y se anula por primera vez en $\omega = 2\pi/\tau$. Si el pulso es la mitad de corto, el lóbulo principal es el doble de ancho. > [accordion] Ejemplo 2 · Exponencial decreciente > > $x(t) = e^{-at}u(t)$: $X(\omega) = \int_0^\infty e^{-(a + j\omega)t}\,dt = \frac{1}{a + j\omega}$. > > $|X(\omega)| = \frac{1}{\sqrt{a^2 + \omega^2}}$: es el espectro de la respuesta de un [circuito RC](https://apuntes.simulab.es/fisica/electricidad/circuitos-rc.md), un filtro paso bajo con frecuencia de corte $\omega = a$. > [accordion] Ejemplo 3 · Retraso > > El pulso del ejemplo 1 retrasado 3 s tiene $X(\omega)\,e^{-j3\omega}$: el mismo módulo y una fase que gira linealmente con la frecuencia. > [accordion] Ejemplo 4 · Modulación AM > > Una señal $m(t)$ con espectro hasta 5 kHz multiplicada por $\cos(2\pi \cdot 1\,\text{MHz} \cdot t)$. > > Por la propiedad de modulación, el espectro se copia centrado en $\pm1$ MHz, ocupando de 995 a 1005 kHz. La radio AM necesita 10 kHz de ancho de banda por emisora. > [accordion] Ejemplo 5 · Resolución de una FFT > > Se toman $N = 1024$ muestras a $f_s = 8$ kHz. ¿Qué separación hay entre frecuencias? > > $\Delta f = f_s/N = 8000/1024 \approx 7{,}8$ Hz. Para distinguir mejor frecuencias cercanas hace falta registrar **más tiempo**: $\Delta f = 1/T_{\text{total}}$. ## Errores frecuentes * **Mezclar convenios.** Unos libros ponen el $\frac{1}{2\pi}$ en la directa, otros lo reparten como $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ en las dos, y otros usan $f$ en lugar de $\omega$. Los resultados difieren en constantes. * **Confundir sinc normalizada y sin normalizar.** $\frac{\operatorname{sen} x}{x}$ y $\frac{\operatorname{sen} \pi x}{\pi x}$ tienen los ceros en sitios distintos. * **Leer solo el módulo.** La fase guarda la información temporal; dos señales distintas pueden tener el mismo espectro de amplitud. * **Pensar que la FFT da más resolución con más muestras por segundo.** La resolución depende de la duración total, no de la frecuencia de muestreo. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Fourier o Laplace? > > Fourier para el **régimen permanente** y el análisis en frecuencia de señales y filtros estables. Laplace para **transitorios**, condiciones iniciales y sistemas que pueden ser inestables. En un sistema estable, la respuesta en frecuencia es $H(s)$ evaluada en $s = j\omega$. > [accordion] ¿Dónde se usa la FFT? > > En el MP3 y el JPEG (una variante, la transformada del coseno), en el 4G, el 5G y el wifi (OFDM), en los analizadores de vibraciones, en la resonancia magnética y en los afinadores de guitarra. ## Temas relacionados > [card] [Series de Fourier](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/series-fourier.md) > > El caso periódico. > [card] [Convolución y sistemas LTI](https://apuntes.simulab.es/electronica/senales/convolucion.md) > > Qué hace un sistema con una señal. > [card] [Muestreo y Nyquist](https://apuntes.simulab.es/electronica/senales/muestreo.md) > > De la señal analógica a las muestras. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.