> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Transformada de Laplace: tabla, propiedades y resolución de EDO > La transformada de Laplace explicada: definición, tabla de transformadas, linealidad, derivadas, desplazamientos, escalón y delta de Dirac, fracciones simples para la inversa y resolución de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales, con ejemplos resueltos. La transformada de Laplace convierte una **ecuación diferencial** en una **ecuación algebraica**. Se transforma la ecuación, se despeja la incógnita como si fuera un problema de primero de bachillerato y se vuelve atrás con una tabla. Además incluye las condiciones iniciales de forma automática. Es la herramienta estándar de los ingenieros para estudiar circuitos, sistemas mecánicos y sistemas de control. ## Lo que vas a aprender * La definición de la transformada y su tabla básica. * Las propiedades que hacen el trabajo: linealidad, derivada y desplazamientos. * Cómo calcular la transformada inversa con fracciones simples. * Cómo resolver una EDO lineal con condiciones iniciales en tres pasos. * Las funciones escalón y delta de Dirac, y los teoremas del valor inicial y final. ## Fundamentos teóricos ### Definición Para una función $f(t)$ definida en $t \ge 0$: $$ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt $$ La integral converge para $s$ mayor que cierto valor (la **abscisa de convergencia**). La variable $s$ puede ser compleja. ### Tabla básica | $f(t)$ | $F(s)$ | | - | - | | $1$ (o escalón $u(t)$) | $\frac{1}{s}$ | | $t^n$ | $\frac{n!}{s^{n+1}}$ | | $e^{at}$ | $\frac{1}{s-a}$ | | $\operatorname{sen}(\omega t)$ | $\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$ | | $\cos(\omega t)$ | $\frac{s}{s^2+\omega^2}$ | | $t\,e^{at}$ | $\frac{1}{(s-a)^2}$ | | $e^{at}\operatorname{sen}(\omega t)$ | $\frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}$ | | $e^{at}\cos(\omega t)$ | $\frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}$ | | $\delta(t)$ (delta de Dirac) | $1$ | ### Propiedades | Propiedad | Tiempo | Laplace | | - | - | - | | Linealidad | $a f + b g$ | $aF + bG$ | | Derivada | $f'(t)$ | $sF(s) - f(0)$ | | Derivada segunda | $f''(t)$ | $s^2F(s) - s f(0) - f'(0)$ | | Integral | $\int_0^t f(\tau)\,d\tau$ | $\frac{F(s)}{s}$ | | Desplazamiento en $s$ | $e^{at} f(t)$ | $F(s-a)$ | | Desplazamiento en $t$ | $f(t-a)\,u(t-a)$ | $e^{-as}F(s)$ | | Multiplicar por $t$ | $t\,f(t)$ | $-F'(s)$ | | Convolución | $(f * g)(t)$ | $F(s)\,G(s)$ | La propiedad de la **derivada** es la clave: derivar en el tiempo equivale a **multiplicar por $s$**, con las condiciones iniciales incluidas. ### Transformada inversa con fracciones simples Casi siempre $F(s)$ es un cociente de polinomios. Se descompone en fracciones simples y cada una se invierte con la tabla: | Factor del denominador | Fracciones | | - | - | | $(s - a)$ | $\frac{A}{s-a}$ | | $(s - a)^2$ | $\frac{A}{s-a} + \frac{B}{(s-a)^2}$ | | $s^2 + bs + c$ sin raíces reales | $\frac{As + B}{s^2+bs+c}$, completando el cuadrado | ### Resolver una EDO 1. **Transformar** la ecuación usando la propiedad de la derivada y las condiciones iniciales. 2. **Despejar** $Y(s)$: es álgebra. 3. **Invertir** con fracciones simples y la tabla. ### Valor inicial y valor final $$ f(0^+) = \lim_{s\to\infty} s\,F(s) \qquad \lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to 0} s\,F(s) $$ El teorema del valor final solo vale si $f(t)$ tiene límite, es decir, si todos los polos de $sF(s)$ tienen parte real negativa. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Transformada por la definición > > $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^\infty e^{(a-s)t}\,dt = \left[\frac{e^{(a-s)t}}{a-s}\right]_0^\infty = \frac{1}{s-a}$, para $s > a$. > [accordion] Ejemplo 2 · Inversa con fracciones simples > > $F(s) = \frac{3s + 1}{(s-1)(s+2)}$. > > $\frac{3s+1}{(s-1)(s+2)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+2}$. Con $s = 1$: $A = \frac{4}{3}$. Con $s = -2$: $B = \frac{-5}{-3} = \frac53$. > > $f(t) = \frac43 e^{t} + \frac53 e^{-2t}$. > [accordion] Ejemplo 3 · EDO de primer orden > > $y' + 2y = 4$, con $y(0) = 1$. > > $sY - 1 + 2Y = \frac{4}{s} \Rightarrow Y = \frac{s + 4}{s(s+2)} = \frac{2}{s} - \frac{1}{s+2}$. > > $y(t) = 2 - e^{-2t}$. Comprobación: $y(0) = 1$ y tiende a 2, el valor de equilibrio. > [accordion] Ejemplo 4 · EDO de segundo orden (oscilador) > > $y'' + 4y = 0$, con $y(0) = 3$, $y'(0) = 2$. > > $s^2 Y - 3s - 2 + 4Y = 0 \Rightarrow Y = \frac{3s + 2}{s^2 + 4} = 3\frac{s}{s^2+4} + \frac{2}{s^2+4}$. > > $y(t) = 3\cos 2t + \operatorname{sen} 2t$. > [accordion] Ejemplo 5 · Oscilador amortiguado > > $y'' + 2y' + 5y = 0$, con $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$. > > $(s^2 + 2s + 5)Y = s + 2 \Rightarrow Y = \frac{s + 2}{(s+1)^2 + 4} = \frac{s+1}{(s+1)^2+4} + \frac12\cdot\frac{2}{(s+1)^2+4}$. > > $y(t) = e^{-t}\left(\cos 2t + \tfrac12\operatorname{sen} 2t\right)$: oscila y se amortigua. > [accordion] Ejemplo 6 · Carga de un condensador > > Circuito RC con fuente $V$ desde $t = 0$ y condensador descargado: $RC\,v' + v = V$. > > $(RCs + 1)\,V_C(s) = \frac{V}{s} \Rightarrow V_C = \frac{V}{s(RCs + 1)} = V\left(\frac1s - \frac{1}{s + 1/RC}\right)$. > > $v(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right)$, la curva de [carga del condensador](https://apuntes.simulab.es/fisica/electricidad/circuitos-rc.md). Valor final: $\lim_{s\to0} s V_C(s) = V$. ## Errores frecuentes * **Olvidar las condiciones iniciales** en la transformada de la derivada: $\mathcal{L}\{y'\} = sY - y(0)$, no $sY$. * **Confundir los desplazamientos.** $e^{at}f(t)$ desplaza en $s$; $f(t-a)u(t-a)$ multiplica por $e^{-as}$. * **No completar el cuadrado** cuando el denominador no tiene raíces reales. * **Usar el valor final con polos inestables.** Para $\frac{1}{s-1}$ da 0, pero $e^t$ crece sin límite. ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Qué ventaja tiene sobre resolver la EDO directamente? > > Convierte derivadas en productos, mete las condiciones iniciales desde el principio y trata con naturalidad entradas discontinuas (escalones, pulsos, impulsos). Además, en control y circuitos se trabaja directamente en el dominio $s$ con **funciones de transferencia**, sin volver nunca al tiempo. > [accordion] ¿Qué relación tiene con la transformada de Fourier? > > La de Fourier es la de Laplace (bilateral) evaluada en $s = j\omega$, el eje imaginario. Laplace añade un factor de amortiguamiento $e^{-\sigma t}$ que hace converger la integral para funciones que crecen, por eso sirve para sistemas inestables. ## Temas relacionados > [card] [Ecuaciones diferenciales](https://apuntes.simulab.es/matematicas/modelos/ecuaciones-diferenciales.md) > > Campo de direcciones y métodos numéricos. > [card] [Función de transferencia](https://apuntes.simulab.es/electronica/control/funcion-transferencia.md) > > Laplace aplicado a sistemas de control. > [card] [Transformada de Fourier](https://apuntes.simulab.es/matematicas/transformadas/transformada-fourier.md) > > El espectro de frecuencias de una señal. 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