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# Circunferencia unitaria: seno, coseno y tangente de cualquier ángulo

> La circunferencia goniométrica explicada: seno, coseno y tangente, radianes, signos por cuadrante, ángulos notables y reducción al primer cuadrante, con ejemplos.

<Card title="Abrir el simulador" icon="flask" href="https://simulab.es/matematicas/circunferencia-unitaria">
  Arrastra el ángulo por la circunferencia y mira el seno, el coseno y la tangente en el dibujo y en sus gráficas, con sus valores exactos.
</Card>

En el triángulo rectángulo, el seno y el coseno solo tienen sentido para ángulos agudos, entre 0° y 90°. Pero una rueda gira 120°, una manecilla 270° y una onda repite su forma una y otra vez. La **circunferencia unitaria** (también llamada **circunferencia goniométrica**) es la herramienta que extiende las razones trigonométricas a **cualquier ángulo**, y de paso hace visibles casi todas sus propiedades: los signos, las identidades, los valores notables y la periodicidad.

## Lo que vas a aprender

* Qué es la circunferencia unitaria y por qué el seno y el coseno son las coordenadas de un punto.
* Pasar de grados a radianes y al revés.
* Ver la tangente como un segmento y entender por qué no existe en 90°.
* Deducir la identidad fundamental $\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1$ a partir del dibujo.
* Saber el signo de cada razón en cada cuadrante.
* Calcular de memoria las razones de 30°, 45°, 60° y de todos sus "parientes" en otros cuadrantes.
* Entender por qué el seno y el coseno son funciones periódicas, con forma de onda.

## Cómo se usa el simulador

| Control | Qué hace |
| - | - |
| **Punto blanco** | Arrástralo por la circunferencia. Se engancha a los ángulos notables (múltiplos de 30° y de 45°). |
| **θ** | Deslizador para fijar el ángulo con precisión, de 0° a 359°. |
| **Ángulos notables** | Botones para saltar directamente a 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°… |
| **Unidades** | Muestra el ángulo en grados o en radianes (como $5\pi/6$). |
| **Tangente** | Casilla para mostrar u ocultar el segmento de la tangente. |
| **Girar** | Hace que el punto dé vueltas solo, para ver cómo cambian las tres razones. |

* Los paneles **cos θ**, **sin θ** y **tan θ** dan el valor **exacto** cuando el ángulo es notable (por ejemplo $\sqrt{2}/2$) y debajo su valor decimal.
* La gráfica **Seno y coseno como ondas** "desenrolla" la circunferencia: el eje horizontal es el ángulo y el vertical, el valor de cada razón.
* Los colores son siempre los mismos: el **coseno** es el segmento horizontal, el **seno** el vertical y la **tangente** el segmento sobre la recta $x = 1$.

<Tip>
  El simulador usa la notación internacional, **sin** y **tan**, que es también la de las calculadoras. En España, en clase se suele escribir **sen** y **tg**: son exactamente lo mismo.
</Tip>

## Fundamentos teóricos

### Del triángulo a la circunferencia

En un triángulo rectángulo con un ángulo agudo $\theta$, hipotenusa $h$, cateto opuesto $a$ y cateto contiguo $b$:

$$
\operatorname{sen}\theta = \frac{a}{h} \qquad \cos\theta = \frac{b}{h} \qquad \operatorname{tg}\theta = \frac{a}{b}
$$

Estas razones no dependen del tamaño del triángulo, solo del ángulo (los triángulos semejantes tienen los mismos cocientes). Así que podemos elegir el triángulo más cómodo: el de **hipotenusa 1**. Entonces $\operatorname{sen}\theta = a$ y $\cos\theta = b$: el seno y el coseno son directamente las longitudes de los catetos.

Si colocamos ese triángulo con el vértice del ángulo en el origen y la hipotenusa como un radio de una circunferencia de radio 1, el otro extremo de la hipotenusa es el punto $(b,\,a)$. De ahí sale la definición general.

### Definición

La **circunferencia unitaria** es la de centro el origen y radio 1, de ecuación $x^2 + y^2 = 1$. Los ángulos se miden desde el semieje $x$ positivo, **en sentido antihorario** (los negativos, en sentido horario). Si el radio que forma un ángulo $\theta$ corta a la circunferencia en el punto $P$, se define:

$$
P = (\cos\theta,\ \operatorname{sen}\theta)
$$

Es decir: **el coseno es la abscisa del punto y el seno es su ordenada**. Esta definición coincide con la del triángulo para ángulos agudos, pero vale para cualquier ángulo: 150°, 270°, −45° o 1000°.

Y la tangente:

$$
\operatorname{tg}\theta = \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta} \qquad (\cos\theta \neq 0)
$$

### Grados y radianes

Hay dos formas habituales de medir ángulos:

* **Grados sexagesimales:** una vuelta completa son 360°.
* **Radianes:** un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Como la longitud de la circunferencia es $2\pi r$, una vuelta completa son $2\pi$ radianes.

En la circunferencia unitaria el radio es 1, así que **la medida en radianes de un ángulo es exactamente la longitud del arco que abarca**. Por eso los radianes son la unidad "natural" en matemáticas y física. La equivalencia es:

$$
180° = \pi \text{ rad} \qquad\Longrightarrow\qquad \alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{grados}}\cdot\frac{\pi}{180}
$$

| Grados | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 270° | 360° |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Radianes | 0 | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\frac{5\pi}{6}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |

Un radián son unos $57{,}3°$.

### La tangente como segmento

Traza la recta vertical $x = 1$, tangente a la circunferencia en el punto $(1, 0)$. Prolonga el radio de ángulo $\theta$ hasta que la corte. La altura del punto de corte es $\operatorname{tg}\theta$: por semejanza de triángulos, $\dfrac{\operatorname{tg}\theta}{1} = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}$.

De ahí el nombre: es un segmento sobre una recta **tangente** a la circunferencia. Y se ve enseguida que:

* Cuando $\theta$ se acerca a 90°, el radio se vuelve casi vertical y corta a la recta cada vez más arriba: la tangente crece sin límite.
* En 90° (y en 270°) el radio es paralelo a la recta y **no la corta nunca**: la tangente no existe. Algebraicamente, $\cos 90° = 0$ y no se puede dividir entre cero.

### La identidad fundamental

El punto $P = (\cos\theta, \operatorname{sen}\theta)$ está en la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$, así que:

$$
\boxed{\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1}
$$

Es el teorema de Pitágoras en el triángulo de hipotenusa 1, y vale para **todos** los ángulos. Dividiendo entre $\cos^2\theta$ o entre $\operatorname{sen}^2\theta$ se obtienen otras dos muy útiles:

$$
1 + \operatorname{tg}^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} \qquad\qquad 1 + \frac{1}{\operatorname{tg}^2\theta} = \frac{1}{\operatorname{sen}^2\theta}
$$

Una consecuencia inmediata: como las coordenadas de un punto de la circunferencia están entre −1 y 1,

$$
-1 \le \operatorname{sen}\theta \le 1 \qquad -1 \le \cos\theta \le 1
$$

mientras que la tangente puede tomar **cualquier** valor real.

### Signos en cada cuadrante

Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes. El signo del coseno depende de si el punto está a la derecha o a la izquierda; el del seno, de si está arriba o abajo; y el de la tangente, del cociente de ambos.

| Cuadrante | Ángulos | $\operatorname{sen}$ | $\cos$ | $\operatorname{tg}$ |
| - | - | - | - | - |
| I | 0° – 90° | + | + | + |
| II | 90° – 180° | + | − | − |
| III | 180° – 270° | − | − | + |
| IV | 270° – 360° | − | + | − |

Una forma de recordarlo: en el I son todas positivas; en el II, solo el seno; en el III, solo la tangente; en el IV, solo el coseno.

### Ángulos notables

Hay tres ángulos agudos cuyas razones se pueden calcular de forma exacta con geometría sencilla:

* **45°:** el triángulo rectángulo es isósceles, con los dos catetos iguales. Si la hipotenusa es 1, por Pitágoras $2c^2 = 1$, así que $c = \dfrac{1}{\sqrt 2} = \dfrac{\sqrt 2}{2}$.
* **30° y 60°:** se parte por la mitad un triángulo equilátero de lado 1. Queda un triángulo rectángulo con hipotenusa 1, un cateto de $\tfrac12$ (frente al ángulo de 30°) y otro de $\sqrt{1 - \tfrac14} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ (frente al de 60°).

| | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| - | - | - | - | - | - |
| $\operatorname{sen}$ | 0 | $\frac12$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | 1 |
| $\cos$ | 1 | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac12$ | 0 |
| $\operatorname{tg}$ | 0 | $\frac{\sqrt3}{3}$ | 1 | $\sqrt3$ | no existe |

<Tip>
  Truco para el seno: escribe $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}$ para 0°, 30°, 45°, 60° y 90°. El coseno es la misma fila al revés.
</Tip>

### Reducción al primer cuadrante

Gracias a la simetría de la circunferencia, las razones de cualquier ángulo se pueden expresar con las de un ángulo agudo, el **ángulo de referencia**. Solo hay que cuidar los signos.

| Relación | Simetría | Fórmulas |
| - | - | - |
| **Suplementarios** $180° - \alpha$ (II cuadrante) | Respecto al eje $y$ | $\operatorname{sen}(180°-\alpha) = \operatorname{sen}\alpha$, $\ \cos(180°-\alpha) = -\cos\alpha$ |
| **Diferencia de 180°** $180° + \alpha$ (III cuadrante) | Respecto al origen | $\operatorname{sen}(180°+\alpha) = -\operatorname{sen}\alpha$, $\ \cos(180°+\alpha) = -\cos\alpha$ |
| **Opuestos** $-\alpha$ o $360° - \alpha$ (IV cuadrante) | Respecto al eje $x$ | $\operatorname{sen}(-\alpha) = -\operatorname{sen}\alpha$, $\ \cos(-\alpha) = \cos\alpha$ |
| **Complementarios** $90° - \alpha$ | Respecto a la recta $y = x$ | $\operatorname{sen}(90°-\alpha) = \cos\alpha$, $\ \cos(90°-\alpha) = \operatorname{sen}\alpha$ |

En la práctica, el método tiene tres pasos:

<Steps>
  <Step title="Localiza el cuadrante">
    Decide en qué cuadrante cae el ángulo (si es mayor que 360°, resta vueltas completas primero).
  </Step>

  <Step title="Calcula el ángulo de referencia">
    Es el ángulo agudo que forma el radio con el eje $x$: $180° - \theta$ en el II, $\theta - 180°$ en el III y $360° - \theta$ en el IV.
  </Step>

  <Step title="Pon el signo">
    Toma el valor del ángulo de referencia y ponle el signo que corresponde en ese cuadrante.
  </Step>
</Steps>

### Periodicidad: seno y coseno como ondas

Si el ángulo da una vuelta completa, el punto vuelve al mismo sitio. Por eso:

$$
\operatorname{sen}(\theta + 360°) = \operatorname{sen}\theta \qquad \cos(\theta + 360°) = \cos\theta \qquad \operatorname{tg}(\theta + 180°) = \operatorname{tg}\theta
$$

El seno y el coseno son **periódicos de periodo $2\pi$** (360°) y la tangente de periodo $\pi$ (180°). Al representar el seno frente al ángulo se obtiene la **sinusoide**, la forma de todas las ondas: el sonido, la corriente alterna, las mareas o un muelle oscilando. El coseno es la misma curva desplazada 90°: $\cos\theta = \operatorname{sen}(\theta + 90°)$.

Esta es la conexión más importante de la circunferencia unitaria: **un punto que gira con velocidad constante proyecta sobre los ejes un movimiento ondulatorio**. Es la base del movimiento armónico simple y del análisis de cualquier fenómeno periódico.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · Razones de un ángulo del segundo cuadrante" defaultOpen>
    Calcula $\operatorname{sen} 150°$, $\cos 150°$ y $\operatorname{tg} 150°$.

    **Cuadrante:** 150° está en el II, así que el seno es positivo y el coseno y la tangente, negativos.

    **Ángulo de referencia:** $180° - 150° = 30°$.

    **Valores:** $\operatorname{sen} 150° = \operatorname{sen} 30° = \dfrac12$; $\cos 150° = -\cos 30° = -\dfrac{\sqrt3}{2}$.

    **Tangente:** $\operatorname{tg} 150° = \dfrac{1/2}{-\sqrt3/2} = -\dfrac{1}{\sqrt3} = -\dfrac{\sqrt3}{3}$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · Ángulos en radianes y en otros cuadrantes">
    Calcula $\cos\dfrac{4\pi}{3}$ y $\operatorname{tg}\dfrac{7\pi}{4}$.

    **Paso a grados:** $\dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{4\cdot 180°}{3} = 240°$ y $\dfrac{7\pi}{4} = 315°$.

    **240°** está en el III cuadrante; su ángulo de referencia es $240° - 180° = 60°$. El coseno es negativo: $\cos 240° = -\cos 60° = -\dfrac12$.

    **315°** está en el IV cuadrante; su ángulo de referencia es $360° - 315° = 45°$. La tangente es negativa: $\operatorname{tg} 315° = -\operatorname{tg} 45° = -1$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Conocida una razón, calcular las demás">
    Sabiendo que $\operatorname{sen}\alpha = \dfrac35$ y que $\alpha$ está en el segundo cuadrante, calcula $\cos\alpha$ y $\operatorname{tg}\alpha$.

    **Identidad fundamental:** $\cos^2\alpha = 1 - \operatorname{sen}^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, así que $\cos\alpha = \pm\dfrac45$.

    **Signo:** en el II cuadrante el coseno es negativo, luego $\cos\alpha = -\dfrac45$.

    **Tangente:** $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac34$.

    Comprobación con la otra identidad: $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = 1 + \dfrac{9}{16} = \dfrac{25}{16} = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$. ✓
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 4 · Ecuación trigonométrica sencilla">
    Resuelve $\operatorname{sen} x = \dfrac12$ para $0° \le x < 360°$.

    **Primera solución:** el ángulo agudo con seno $\tfrac12$ es $x = 30°$.

    **Segunda solución:** el seno también es positivo en el II cuadrante. El ángulo de ese cuadrante con referencia 30° es $180° - 30° = 150°$.

    **Solución:** $x = 30°$ y $x = 150°$. En la circunferencia, son los dos puntos a altura $\tfrac12$: la recta horizontal $y = \tfrac12$ corta a la circunferencia dos veces.

    Si se piden todas las soluciones: $x = 30° + 360°k$ y $x = 150° + 360°k$, con $k$ entero.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 5 · Simplificar una expresión">
    Simplifica $\dfrac{\operatorname{sen}(180° - \alpha)\cdot\cos(-\alpha)}{\cos(180° + \alpha)}$.

    Usamos la reducción: $\operatorname{sen}(180°-\alpha) = \operatorname{sen}\alpha$, $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ y $\cos(180°+\alpha) = -\cos\alpha$.

    $\frac{\operatorname{sen}\alpha\cdot\cos\alpha}{-\cos\alpha} = -\operatorname{sen}\alpha$
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Experimenta con el simulador

<Steps>
  <Step title="Comprueba la identidad fundamental">
    Elige un ángulo cualquiera, no notable (por ejemplo 37°). Apunta el seno y el coseno decimales, elévalos al cuadrado y súmalos. Repite con otro ángulo en otro cuadrante.
  </Step>

  <Step title="Descubre los signos">
    Pulsa **Girar** y fíjate en los paneles. Anota en qué cuadrantes cambia de signo cada razón y compáralo con la tabla de signos.
  </Step>

  <Step title="Ángulos que comparten seno">
    Ve a 30° y luego a 150°. ¿Qué tienen en común sus puntos? Haz lo mismo con 45° y 135°, y con 60° y 120°. ¿Qué simetría hay?
  </Step>

  <Step title="La tangente se escapa">
    Activa la tangente y acerca el ángulo a 90° poco a poco con el deslizador: 80°, 85°, 89°. ¿Qué le pasa al segmento? ¿Y al pasar a 91°?
  </Step>

  <Step title="Grados y radianes">
    Cambia las unidades a radianes y recorre los ángulos notables. Intenta adivinar la expresión en radianes antes de que aparezca.
  </Step>

  <Step title="De la circunferencia a la onda">
    Mira a la vez el punto y la gráfica de ondas mientras gira. ¿En qué ángulos se cortan las dos curvas? ¿Cuánto vale ahí cada razón?
  </Step>
</Steps>

## Errores frecuentes

* **Confundir qué coordenada es cada razón.** El coseno es la $x$ (horizontal) y el seno la $y$ (vertical). Ayuda recordar que el coseno de 0° es 1: el punto está sobre el eje $x$.
* **Usar la calculadora en el modo equivocado.** Si $\operatorname{sen} 30$ te da $-0{,}988$, la calculadora está en radianes. Comprueba siempre el modo (DEG o RAD).
* **Olvidar la segunda solución** en las ecuaciones: casi siempre hay dos ángulos en una vuelta con el mismo seno (o el mismo coseno).
* **Pensar que la tangente está entre −1 y 1.** Eso solo pasa con el seno y el coseno; la tangente puede valer 1000.
* **Escribir $\operatorname{sen}^2\theta$ como $\operatorname{sen}(\theta^2)$.** $\operatorname{sen}^2\theta$ significa $(\operatorname{sen}\theta)^2$.
* **Tomar el signo de la raíz al azar.** Al despejar con la identidad fundamental sale un $\pm$; el cuadrante decide cuál vale.

## Un poco de historia

La trigonometría nació de la astronomía. **Hiparco de Nicea** (siglo II a. C.) construyó la primera tabla de **cuerdas** de una circunferencia para calcular posiciones de los astros, y **Ptolomeo** la amplió en el *Almagesto*. Los matemáticos de la India, como **Aryabhata** (siglo V), dieron el paso clave: trabajar con la **media cuerda**, que es justamente nuestro seno. Su nombre sánscrito, *jya*, pasó al árabe como *jiba*, se leyó *jaib* ("pliegue, bolsillo") y se tradujo al latín como ***sinus***, de donde viene "seno". Fue **Leonhard Euler**, en el siglo XVIII, quien fijó el radio en 1 y trató el seno y el coseno como funciones de un número, tal como se hace hoy.

## Preguntas frecuentes

<AccordionGroup>
  <Accordion title="¿Es lo mismo circunferencia unitaria que circunferencia goniométrica?">
    Sí. "Goniométrica" viene del griego *gonia*, ángulo: es la circunferencia que se usa para medir ángulos. En ambos casos se trata de la circunferencia de radio 1 centrada en el origen.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Por qué se miden los ángulos en sentido antihorario?">
    Es un convenio: así el primer cuadrante, donde todo es positivo, queda entre 0° y 90°, y el ángulo crece al subir. Los ángulos medidos en sentido horario se consideran negativos.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Qué es un radián?">
    El ángulo que abarca un arco de longitud igual al radio. Una vuelta completa son $2\pi$ radianes, así que $180° = \pi$ rad y 1 rad ≈ 57,3°.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Cuánto valen el seno y el coseno de un ángulo mayor que 360°?">
    Lo mismo que el del ángulo que resulta al quitar vueltas completas. Por ejemplo, $\operatorname{sen} 750° = \operatorname{sen}(750° - 2\cdot 360°) = \operatorname{sen} 30° = \tfrac12$.
  </Accordion>

  <Accordion title="¿Para qué sirven la secante, la cosecante y la cotangente?">
    Son las inversas: $\sec\theta = 1/\cos\theta$, $\operatorname{cosec}\theta = 1/\operatorname{sen}\theta$ y $\operatorname{cotg}\theta = 1/\operatorname{tg}\theta$. No aportan información nueva, pero simplifican algunas fórmulas e integrales.
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Simuladores relacionados

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Resolución de triángulos" icon="triangle" href="https://simulab.es/matematicas/triangulos">
    Teoremas del seno y del coseno aplicados a cualquier triángulo.
  </Card>

  <Card title="Transformaciones de funciones" icon="chart-line" href="https://simulab.es/matematicas/funciones">
    Desplaza, estira y refleja la sinusoide y otras funciones.
  </Card>

  <Card title="Números complejos" icon="circle-half-stroke" href="https://simulab.es/matematicas/numeros-complejos">
    La forma polar: módulo y argumento sobre la circunferencia.
  </Card>
</CardGroup>


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