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# Resolución de triángulos: teorema del seno y del coseno

> Cómo resolver cualquier triángulo con los teoremas del seno y del coseno: casos LLL, LAL, ALA y el caso ambiguo, área con Herón y con el seno, con ejemplos resueltos.

<Card title="Abrir la herramienta" icon="calculator" href="https://simulab.es/matematicas/triangulos">
  Da tres datos y resuelve el triángulo paso a paso, dibujado a escala.
</Card>

Resolver un triángulo es encontrar sus tres lados y sus tres ángulos a partir de solo tres datos, con al menos un lado. Para triángulos rectángulos basta Pitágoras y las razones trigonométricas, pero para cualquier triángulo hacen falta dos teoremas: el del **seno** y el del **coseno**. Así se miden distancias inaccesibles, como la anchura de un río o la altura de una montaña.

## Lo que vas a aprender

* Los teoremas del seno y del coseno, y cuándo usar cada uno.
* Los casos de resolución: LLL, LAL, ALA/LAA y el caso ambiguo LLA.
* Calcular el área con el seno o con la fórmula de Herón.

## Cómo se usa la herramienta

1. Rellena **tres** de las seis casillas: lados $a$, $b$, $c$ y ángulos $A$, $B$, $C$. Cada ángulo es el **opuesto** a su lado.
2. La herramienta elige el teorema, explica cada paso y dibuja el triángulo **a escala**, con su perímetro, su área y su tipo.
3. Los botones cargan ejemplos: **3-4-5 (LLL)**, **LAL**, **ALA**, **Caso ambiguo** y **Sin solución**.

## Fundamentos teóricos

### Teorema del seno

$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
$$

Se usa cuando conoces **un lado y su ángulo opuesto**.

### Teorema del coseno

$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
$$

(y sus versiones cíclicas). Se usa con **tres lados** o con **dos lados y el ángulo que forman**. Si $A = 90°$, se reduce a Pitágoras.

### Los casos

| Datos | Método |
| - | - |
| **LLL** (tres lados) | Coseno para dos ángulos; el tercero, por suma 180° |
| **LAL** (dos lados y el ángulo que forman) | Coseno para el tercer lado; luego seno |
| **ALA / LAA** (un lado y dos ángulos) | Tercer ángulo por suma 180°; seno para los lados |
| **LLA** (dos lados y un ángulo no comprendido) | Seno; **caso ambiguo**: 0, 1 o 2 triángulos |
| **AAA** (tres ángulos) | No se puede: infinitos triángulos semejantes |

### El caso ambiguo

Si conoces $a$, $b$ y $A$, el teorema del seno da $\sin B$. Pero $B$ y $180° - B$ tienen el mismo seno. Hay que comprobar cuáles dan un triángulo válido ($A + B < 180°$). Si $\sin B > 1$, no hay triángulo.

### Área

$$
S = \tfrac12\,a\,b\sin C \qquad S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)},\ \ s = \frac{a + b + c}{2}
$$

La segunda es la **fórmula de Herón**.

## Ejemplos resueltos

<AccordionGroup>
  <Accordion title="Ejemplo 1 · LLL" defaultOpen>
    $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$.

    $\cos A = \dfrac{16 + 25 - 9}{40} = 0{,}8 \Rightarrow A = 36{,}87°$. $\cos B = \dfrac{9 + 25 - 16}{30} = 0{,}6 \Rightarrow B = 53{,}13°$. $C = 90°$.

    Herón: $s = 6$, $S = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 2 · LAL">
    $a = 7$, $b = 5$, $C = 60°$.

    $c^2 = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 0{,}5 = 39 \Rightarrow c = 6{,}245$.

    $\sin B = 5 \cdot 0{,}866/6{,}245 = 0{,}693 \Rightarrow B = 43{,}9°$; $A = 76{,}1°$.
  </Accordion>

  <Accordion title="Ejemplo 3 · Caso ambiguo">
    $a = 6$, $b = 8$, $A = 40°$.

    $\sin B = 8 \cdot \sin 40°/6 = 0{,}857 \Rightarrow B = 59{,}0°$ o $B = 121{,}0°$.

    Los dos valen: $C = 81{,}0°$ o $C = 19{,}0°$. **Hay dos triángulos.**
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## Errores frecuentes

* **Emparejar mal lados y ángulos**: $a$ siempre frente a $A$.
* **Olvidar la segunda solución** del caso ambiguo.
* **Usar la calculadora en radianes.**
* **Intentar resolver con tres ángulos.**

## Herramientas relacionadas

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="Circunferencia unitaria" icon="circle" href="/matematicas/trigonometria/circunferencia-unitaria">
    Seno, coseno y tangente.
  </Card>

  <Card title="Teorema de Pitágoras" icon="calculator" href="/matematicas/geometria/pitagoras">
    El caso rectángulo.
  </Card>

  <Card title="Áreas y perímetros" icon="calculator" href="/matematicas/geometria/areas-perimetros">
    Áreas de figuras planas.
  </Card>
</CardGroup>


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