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# Cálculo en varias variables: temas, ideas clave y simuladores

> Cálculo en varias variables: derivadas parciales, gradiente, Taylor en varias variables, extremos y multiplicadores de Lagrange, integrales dobles y triples, y cálculo vectorial con los teoremas de Green, Stokes y Gauss.

En la naturaleza casi nada depende de una sola variable: la temperatura cambia con la posición y con el tiempo, el coste de un diseño depende de todas sus medidas. El cálculo en varias variables extiende las derivadas y las integrales a estas funciones y a los **campos vectoriales**, y es el lenguaje de la física, la ingeniería y la optimización. Es la asignatura de Cálculo II o Ampliación de Matemáticas de casi todas las ingenierías.

## Las ideas clave del bloque

### Derivar en varias variables

Una **derivada parcial** mide cómo cambia la función al mover una sola variable. El **gradiente** $\nabla f$ las reúne en un vector que apunta hacia donde la función crece más deprisa. La **hessiana** reúne las derivadas segundas y describe la curvatura.

### Optimizar

Los extremos están donde $\nabla f = \mathbf{0}$; la hessiana dice si son máximos, mínimos o puntos de silla. Si hay restricciones, los **multiplicadores de Lagrange** exigen que los gradientes de la función y de la restricción sean paralelos.

### Integrar

Las integrales dobles y triples se calculan como integrales simples encadenadas (**Fubini**). Cambiar a coordenadas polares, cilíndricas o esféricas simplifica el recinto, a cambio de multiplicar por el **jacobiano**.

### Campos vectoriales

La **divergencia** mide fuentes y sumideros; el **rotacional**, giros. Los teoremas de **Green, Stokes y Gauss** relacionan la integral de una derivada en una región con la de la función en su borde.

## Orden recomendado

**1. Derivadas parciales**

Parciales, gradiente, derivada direccional y regla de la cadena.

**2. Taylor en varias variables**

Plano tangente, hessiana y aproximación cuadrática.

**3. Extremos y Lagrange**

Puntos críticos, criterio de la hessiana y extremos condicionados.

**4. Integrales múltiples**

Fubini, cambio de orden y cambio de coordenadas.

**5. Cálculo vectorial**

Divergencia, rotacional y los teoremas de Green, Stokes y Gauss.

## Temas de este bloque

> [card] [Derivadas parciales](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/derivadas-parciales.md)
>
> Derivadas parciales de funciones de varias variables: cómo se calculan, interpretación geométrica, vector gradiente, derivada direccional, diferenciabilidad, regla de la cadena y derivación implícita, con ejemplos resueltos.

> [card] [Taylor en varias variables](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/taylor-varias-variables.md)
>
> El desarrollo de Taylor de una función de dos o más variables: plano tangente, aproximación lineal, matriz hessiana, aproximación cuadrática y estimación de errores con diferenciales, con ejemplos resueltos.

> [card] [Extremos y Lagrange](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/extremos-lagrange.md)
>
> Extremos de funciones de varias variables: puntos críticos, criterio de la hessiana, puntos de silla, extremos absolutos en un recinto cerrado y extremos condicionados con multiplicadores de Lagrange, con ejemplos resueltos.

> [card] [Integrales múltiples](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/integrales-multiples.md)
>
> Integrales dobles y triples: teorema de Fubini, cambio del orden de integración, recintos de tipo I y II, cambio de variable con el jacobiano, coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, y aplicaciones a áreas, volúmenes, masas y centros de masa.

> [card] [Cálculo vectorial](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/calculo-vectorial.md)
>
> Cálculo vectorial explicado: campos vectoriales, divergencia y rotacional, campos conservativos y potencial, integrales de línea y de superficie, flujo, y los teoremas de Green, Stokes y Gauss (divergencia), con ejemplos resueltos.

## Simuladores de varias variables en Simulab

> [card] [Superficies en 3D](https://simulab.es/matematicas/superficies)
>
> Escribe una función de dos variables, gírala en 3D y mira sus derivadas, su gradiente y su plano tangente.

> [card] [Campo eléctrico](https://simulab.es/fisica/campo-electrico)
>
> Un campo vectorial y su potencial, con líneas de campo y equipotenciales.


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