> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://apuntes.simulab.es/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Cálculo vectorial: divergencia, rotacional y teoremas de Green, Stokes y Gauss > Cálculo vectorial explicado: campos vectoriales, divergencia y rotacional, campos conservativos y potencial, integrales de línea y de superficie, flujo, y los teoremas de Green, Stokes y Gauss (divergencia), con ejemplos resueltos. El campo eléctrico, la velocidad de un fluido o el campo magnético asignan un **vector a cada punto del espacio**. El cálculo vectorial da las herramientas para medirlos: cuánto "brota" un campo de un punto (**divergencia**), cuánto "gira" (**rotacional**), cuánto trabajo hace a lo largo de un camino (**integral de línea**) y cuánto atraviesa una superficie (**flujo**). Los tres grandes teoremas, Green, Stokes y Gauss, conectan todo y son el lenguaje de las ecuaciones de Maxwell y de la mecánica de fluidos. ## Lo que vas a aprender * Qué son la divergencia y el rotacional y qué significan físicamente. * Cuándo un campo es conservativo y cómo hallar su potencial. * Cómo calcular integrales de línea (trabajo, circulación) y de superficie (flujo). * Los teoremas de Green, Stokes y Gauss, y cuándo conviene cada uno. ## Fundamentos teóricos ### El operador nabla $$ \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) $$ Para un campo escalar $f$ y uno vectorial $\mathbf{F} = (P, Q, R)$: | Operación | Fórmula | Resultado | Significado | | - | - | - | - | | Gradiente | $\nabla f$ | Vector | Dirección de máximo crecimiento | | Divergencia | $\nabla\cdot\mathbf{F} = P_x + Q_y + R_z$ | Escalar | Fuente ($>0$) o sumidero ($<0$) | | Rotacional | $\nabla\times\mathbf{F}$ | Vector | Giro local del campo | | Laplaciano | $\nabla^2 f = f_{xx} + f_{yy} + f_{zz}$ | Escalar | Diferencia con el promedio de alrededor | El rotacional se calcula como un determinante: $$ \nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ P & Q & R \end{vmatrix} = (R_y - Q_z,\ P_z - R_x,\ Q_x - P_y) $$ Dos identidades que se usan siempre: $\nabla\times(\nabla f) = \mathbf{0}$ y $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0$. ### Integral de línea El **trabajo** o **circulación** de $\mathbf{F}$ a lo largo de una curva $C$ parametrizada por $\mathbf{r}(t)$, $t \in [a, b]$: $$ \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt $$ ### Campos conservativos $\mathbf{F}$ es **conservativo** si existe un **potencial** $f$ con $\mathbf{F} = \nabla f$. Entonces: $$ \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A) $$ El trabajo solo depende de los extremos y es nulo en cualquier curva cerrada. En un dominio sin agujeros (simplemente conexo), $\mathbf{F}$ es conservativo **si y solo si** $\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$. En el plano basta con $Q_x = P_y$. ### Integral de superficie y flujo El **flujo** de $\mathbf{F}$ a través de una superficie $S$ parametrizada por $\mathbf{r}(u, v)$: $$ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(u,v)\big)\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)\,du\,dv $$ El vector $\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v$ es normal a la superficie; su sentido fija la **orientación**. ### Los tres teoremas | Teorema | Enunciado | Relaciona | | - | - | - | | **Green** (plano) | $\displaystyle\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA$ | Curva cerrada ↔ región que encierra | | **Stokes** | $\displaystyle\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$ | Borde ↔ superficie | | **Gauss** (divergencia) | $\displaystyle\oiint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$ | Superficie cerrada ↔ volumen | Los tres dicen lo mismo: **integrar una derivada en una región equivale a integrar la función en su borde**. Es el teorema fundamental del cálculo en más dimensiones. **Orientaciones:** en Green, la curva se recorre en sentido antihorario (la región queda a la izquierda). En Stokes, regla de la mano derecha entre el sentido de $C$ y la normal de $S$. En Gauss, normal hacia fuera. ## Ejemplos resueltos > [accordion] Ejemplo 1 · Divergencia y rotacional > > $\mathbf{F} = (xy,\ yz,\ zx)$. > > $\nabla\cdot\mathbf{F} = y + z + x$. > > $\nabla\times\mathbf{F} = (0 - y,\ 0 - z,\ 0 - x) = (-y, -z, -x)$. No es conservativo. > [accordion] Ejemplo 2 · Campo conservativo y potencial > > $\mathbf{F} = (2xy,\ x^2 + 1)$ en el plano. $Q_x = 2x = P_y$: es conservativo. > > $f_x = 2xy \Rightarrow f = x^2y + g(y)$. $f_y = x^2 + g'(y) = x^2 + 1 \Rightarrow g = y$. > > $f = x^2 y + y$. El trabajo de $(0, 0)$ a $(1, 2)$ por cualquier camino es $f(1,2) - f(0,0) = 4$. > [accordion] Ejemplo 3 · Integral de línea directa > > $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ con $\mathbf{F} = (-y, x)$ sobre la circunferencia unidad en sentido antihorario. > > $\mathbf{r} = (\cos t, \operatorname{sen} t)$, $\mathbf{r}' = (-\operatorname{sen} t, \cos t)$. > > $\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' = \operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t = 1$. Integral: $\int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi$. > [accordion] Ejemplo 4 · El mismo resultado con Green > > Con $P = -y$, $Q = x$: $Q_x - P_y = 2$. $\iint_D 2\,dA = 2\cdot\pi = 2\pi$. ✓ > > En general, $\frac12\oint_C (x\,dy - y\,dx)$ es el **área** encerrada por $C$: así funcionan los planímetros. > [accordion] Ejemplo 5 · Flujo con Gauss > > Flujo de $\mathbf{F} = (x, y, z)$ hacia fuera a través de la esfera de radio $R$. > > $\nabla\cdot\mathbf{F} = 3$. Por Gauss: $\iiint_V 3\,dV = 3\cdot\frac43\pi R^3 = 4\pi R^3$. > > Directamente: en la esfera $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = R$ y el área es $4\pi R^2$, que da lo mismo. > [accordion] Ejemplo 6 · Ley de Gauss del campo eléctrico > > Para una carga puntual, $\mathbf{E} = \frac{kq}{r^2}\hat{\mathbf{r}}$. En una esfera de radio $r$, $\mathbf{E}\cdot\mathbf{n} = kq/r^2$, constante: > > $\oiint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{kq}{r^2}\cdot 4\pi r^2 = 4\pi k q = \frac{q}{\varepsilon_0}$. > > El flujo no depende del radio: es la **ley de Gauss**, $\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ en forma diferencial. ## Errores frecuentes * **Aplicar el criterio del rotacional en un dominio con agujeros.** $\mathbf{F} = \frac{(-y, x)}{x^2+y^2}$ tiene rotacional nulo fuera del origen pero su circulación alrededor de él es $2\pi$: no es conservativo. * **Equivocar la orientación.** Cambiarla cambia el signo del resultado. * **Usar Gauss en una superficie abierta.** El teorema de la divergencia solo vale para superficies **cerradas**; si falta una tapa, hay que añadirla y restar su flujo. * **Confundir divergencia (escalar) y rotacional (vector).** ## Preguntas frecuentes > [accordion] ¿Qué significa físicamente que la divergencia sea cero? > > Que no hay fuentes ni sumideros: lo que entra en cualquier volumen pequeño sale de él. Un fluido incompresible tiene $\nabla\cdot\mathbf{v} = 0$, y el campo magnético siempre cumple $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$, porque no existen monopolos magnéticos. > [accordion] ¿Cómo se escriben las ecuaciones de Maxwell? > > $\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$, $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$, $\nabla\times\mathbf{E} = -\partial_t\mathbf{B}$ y $\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t\mathbf{E}$. Aplicando Gauss y Stokes salen sus formas integrales: leyes de Gauss, de Faraday y de Ampère-Maxwell. ## Temas relacionados > [card] [Campo eléctrico](https://apuntes.simulab.es/fisica/electromagnetismo/campo-electrico.md) > > Líneas de campo y potencial de cargas puntuales. > [card] [Campo magnético](https://apuntes.simulab.es/fisica/electromagnetismo/campo-magnetico.md) > > Campo de corrientes y ley de Ampère. > [card] [Integrales múltiples](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/integrales-multiples.md) > > Integrales dobles y triples, y cambio de coordenadas. This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.