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# Derivadas parciales: gradiente, derivada direccional y regla de la cadena

> Derivadas parciales de funciones de varias variables: cómo se calculan, interpretación geométrica, vector gradiente, derivada direccional, diferenciabilidad, regla de la cadena y derivación implícita, con ejemplos resueltos.

La temperatura de una placa, la presión de un gas o el beneficio de una empresa dependen de **varias variables a la vez**. Para saber cómo cambian, se deriva respecto de una de ellas dejando las demás fijas: eso es una **derivada parcial**. Juntando todas se obtiene el **gradiente**, un vector que señala hacia dónde crece la función más deprisa y que está en la base de la optimización, el electromagnetismo y el aprendizaje automático.

## Lo que vas a aprender

* Qué es una derivada parcial y cómo se calcula.
* Su interpretación como pendiente de una sección de la superficie.
* El vector gradiente y sus propiedades.
* La derivada direccional y la dirección de máximo crecimiento.
* La regla de la cadena y la derivación implícita.

## Fundamentos teóricos

### Definición

Para $f(x, y)$, la derivada parcial respecto de $x$ es

$$
\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h\to0} \frac{f(a+h, b) - f(a, b)}{h}
$$

En la práctica: **se deriva respecto de $x$ tratando $y$ como una constante**. Se escribe $\frac{\partial f}{\partial x}$, $f_x$ o $\partial_x f$.

Geométricamente, $f_x(a, b)$ es la pendiente de la curva que resulta de cortar la superficie $z = f(x, y)$ con el plano $y = b$.

### Derivadas de orden superior

Derivando otra vez salen $f_{xx}$, $f_{yy}$ y las **cruzadas** $f_{xy}$ y $f_{yx}$. Si son continuas, el **teorema de Schwarz** asegura que

$$
f_{xy} = f_{yx}
$$

### El gradiente

$$
\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

Tiene tres propiedades fundamentales:

1. Apunta en la dirección en la que $f$ **crece más rápido**.
2. Su módulo $|\nabla f|$ es esa tasa máxima de crecimiento.
3. Es **perpendicular** a las curvas (o superficies) de nivel $f = \text{cte}$.

### Derivada direccional

La tasa de cambio de $f$ en la dirección de un vector **unitario** $\mathbf{u}$ es

$$
D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = |\nabla f|\cos\theta
$$

Es máxima cuando $\mathbf{u}$ va en la dirección del gradiente ($\theta = 0$), nula si es perpendicular y mínima en sentido contrario.

### Diferenciabilidad

Que existan las parciales **no basta** para que la función sea diferenciable (ni siquiera continua). $f$ es diferenciable en un punto si el plano tangente la aproxima bien:

$$
\lim_{\mathbf{h}\to\mathbf{0}} \frac{f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) - f(\mathbf{a}) - \nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{h}}{|\mathbf{h}|} = 0
$$

Condición suficiente: si las parciales existen y son **continuas** cerca del punto, $f$ es diferenciable.

### Regla de la cadena

Si $z = f(x, y)$ con $x = x(t)$ e $y = y(t)$:

$$
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}
$$

Si $x$ e $y$ dependen de dos variables $(u, v)$, se suma por cada camino:

$$
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}
$$

En general es un producto de **matrices jacobianas**: $J_{f\circ g} = J_f \cdot J_g$.

### Derivación implícita

Si $F(x, y) = 0$ define $y$ como función de $x$:

$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} \qquad (F_y \ne 0)
$$

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Calcular parciales
>
> $f(x, y) = x^3 y^2 + \operatorname{sen}(xy)$.
>
> $f_x = 3x^2y^2 + y\cos(xy)$
>
> $f_y = 2x^3 y + x\cos(xy)$
>
> $f_{xy} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\operatorname{sen}(xy)$, igual a $f_{yx}$, como dice Schwarz.

> [accordion] Ejemplo 2 · Gradiente y derivada direccional
>
> $f(x, y) = x^2 + 3y^2$ en $(1, 1)$, en la dirección de $\mathbf{v} = (3, 4)$.
>
> $\nabla f = (2x, 6y) = (2, 6)$. El vector unitario es $\mathbf{u} = (3/5, 4/5)$.
>
> $D_{\mathbf{u}} f = 2 \cdot \frac35 + 6 \cdot \frac45 = \frac{30}{5} = 6$.
>
> La máxima tasa es $|\nabla f| = \sqrt{40} \approx 6{,}32$, en la dirección $(2, 6)$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Regla de la cadena
>
> $z = x^2 y$ con $x = \cos t$, $y = \operatorname{sen} t$. Calcula $dz/dt$.
>
> $\frac{dz}{dt} = 2xy\cdot(-\operatorname{sen} t) + x^2 \cos t = -2\cos t\operatorname{sen}^2 t + \cos^3 t$.
>
> Se comprueba derivando directamente $z = \cos^2 t\operatorname{sen} t$.

> [accordion] Ejemplo 4 · Derivación implícita
>
> Pendiente de la circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ en $(3, 4)$.
>
> $F = x^2 + y^2 - 25$: $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac34$.

> [accordion] Ejemplo 5 · Parciales sin continuidad
>
> $f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ con $f(0, 0) = 0$.
>
> En los ejes $f$ vale 0, así que $f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$: las parciales existen. Pero sobre la recta $y = x$ la función vale $\frac12$ en todos los puntos, así que **no es continua** en el origen. Existir las parciales no implica diferenciabilidad.

## Errores frecuentes

* **Derivar también la variable que se deja fija.** En $f_x$, $y$ es una constante: $\partial_x(x^2 y^3) = 2x y^3$.
* **Usar un vector no unitario en la derivada direccional.** Hay que dividir por su módulo antes del producto escalar.
* **Pensar que parciales implica diferenciable.** Hace falta que sean continuas, o comprobar la definición.
* **Olvidar un camino en la regla de la cadena.** Hay un término por cada variable intermedia.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Por qué el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel?
>
> Porque a lo largo de una curva de nivel $f$ no cambia: la derivada direccional en la dirección tangente es $\nabla f \cdot \mathbf{t} = 0$. Por eso, en un mapa topográfico, la dirección de máxima pendiente corta las curvas de nivel en ángulo recto.

> [accordion] ¿Dónde aparece el gradiente en física e ingeniería?
>
> El campo eléctrico es $\mathbf{E} = -\nabla V$; el calor fluye según $-\nabla T$ (ley de Fourier); y el descenso por gradiente, que entrena las redes neuronales, avanza en la dirección $-\nabla f$ para minimizar el error.

## Temas relacionados

> [card] [Superficies en 3D](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/superficies.md)
>
> Visualiza funciones de dos variables.

> [card] [Taylor en varias variables](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/taylor-varias-variables.md)
>
> Plano tangente y hessiana.

> [card] [Campo eléctrico](https://apuntes.simulab.es/fisica/electromagnetismo/campo-electrico.md)
>
> El campo como gradiente del potencial.


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