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# Máximos y mínimos en varias variables y multiplicadores de Lagrange

> Extremos de funciones de varias variables: puntos críticos, criterio de la hessiana, puntos de silla, extremos absolutos en un recinto cerrado y extremos condicionados con multiplicadores de Lagrange, con ejemplos resueltos.

Diseñar una lata con el mínimo de chapa, repartir un presupuesto para ganar lo máximo o encontrar la configuración de menor energía de una molécula: todo es **optimizar** una función de varias variables. El método tiene dos partes: buscar los puntos donde el gradiente se anula y clasificarlos con la hessiana. Cuando las variables están ligadas por una condición, entran en juego los **multiplicadores de Lagrange**.

## Lo que vas a aprender

* Qué es un punto crítico y por qué los extremos están ahí.
* El criterio de la hessiana para distinguir máximos, mínimos y puntos de silla.
* Cómo encontrar extremos absolutos en un recinto cerrado y acotado.
* El método de los multiplicadores de Lagrange y su interpretación geométrica.

## Fundamentos teóricos

### Puntos críticos

Si $f$ es diferenciable y tiene un extremo local en un punto interior, ahí

$$
\nabla f = \mathbf{0}
$$

Los puntos que cumplen esto son los **puntos críticos**. No todos son extremos: también pueden ser **puntos de silla**, que son máximo en una dirección y mínimo en otra.

### Criterio de la hessiana (dos variables)

En un punto crítico se calcula

$$
D = f_{xx}\,f_{yy} - f_{xy}^2
$$

| Condición | Punto |
| - | - |
| $D > 0$ y $f_{xx} > 0$ | Mínimo local |
| $D > 0$ y $f_{xx} < 0$ | Máximo local |
| $D < 0$ | Punto de silla |
| $D = 0$ | El criterio no decide |

### Tres o más variables

Se mira la hessiana completa. Con los menores principales $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \dots$ (determinantes de las submatrices superiores izquierdas):

* Todos **positivos**: mínimo (definida positiva).
* Signos **alternos** empezando por negativo ($-, +, -, \dots$): máximo (definida negativa).
* Otro patrón con $\det H \ne 0$: punto de silla.

Equivalente: autovalores todos positivos (mínimo), todos negativos (máximo), de los dos signos (silla).

### Extremos absolutos en un recinto

Una función continua en un recinto **cerrado y acotado** alcanza siempre su máximo y su mínimo (teorema de Weierstrass). Para encontrarlos:

1. Puntos críticos **dentro** del recinto.
2. Extremos sobre la **frontera** (parametrizándola o con Lagrange).
3. Los **vértices** de la frontera, si los hay.
4. Se evalúa $f$ en todos los candidatos: el mayor valor es el máximo y el menor, el mínimo.

### Multiplicadores de Lagrange

Para optimizar $f(x, y)$ con la **restricción** $g(x, y) = c$, en el extremo los gradientes son paralelos:

$$
\nabla f = \lambda\,\nabla g \qquad g(x, y) = c
$$

Son tres ecuaciones con tres incógnitas $(x, y, \lambda)$. Equivale a buscar puntos críticos de la **lagrangiana**

$$
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda\,\big(g(x, y) - c\big)
$$

**Interpretación geométrica.** Si se recorre la curva $g = c$, $f$ deja de crecer justo cuando esa curva es tangente a una curva de nivel de $f$, y ahí los dos gradientes, perpendiculares a sus curvas, son paralelos.

**Interpretación de λ.** Es la sensibilidad del óptimo a la restricción: $\lambda = \frac{d f^*}{d c}$. En economía es el **precio sombra** del recurso.

Con dos restricciones: $\nabla f = \lambda_1 \nabla g_1 + \lambda_2 \nabla g_2$.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Clasificar puntos críticos
>
> $f(x, y) = x^3 - 3x + y^2$.
>
> $\nabla f = (3x^2 - 3,\ 2y) = (0, 0)$: puntos $(1, 0)$ y $(-1, 0)$.
>
> $f_{xx} = 6x$, $f_{yy} = 2$, $f_{xy} = 0$, así que $D = 12x$.
>
> * $(1, 0)$: $D = 12 > 0$, $f_{xx} = 6 > 0$: **mínimo local**, $f = -2$.
> * $(-1, 0)$: $D = -12 < 0$: **punto de silla**.

> [accordion] Ejemplo 2 · Silla de montar
>
> $f(x, y) = x^2 - y^2$ tiene un único punto crítico en el origen, con $D = 2 \cdot (-2) - 0 = -4 < 0$. Es un punto de silla: mínimo a lo largo del eje $x$ y máximo a lo largo del eje $y$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Lagrange: rectángulo de área máxima
>
> Rectángulo de perímetro 20 con área máxima: maximizar $f = xy$ con $g = 2x + 2y = 20$.
>
> $\nabla f = (y, x)$, $\nabla g = (2, 2)$. Sistema: $y = 2\lambda$, $x = 2\lambda$, $x + y = 10$.
>
> $x = y = 5$, área 25: el rectángulo óptimo es un **cuadrado**. $\lambda = 2{,}5$: si el perímetro creciera en 1, el área máxima crecería unas 2,5 unidades.

> [accordion] Ejemplo 4 · Lagrange sobre una circunferencia
>
> Extremos de $f = x + 2y$ sobre $x^2 + y^2 = 5$.
>
> $1 = 2\lambda x$, $2 = 2\lambda y$, así que $y = 2x$. Sustituyendo: $5x^2 = 5$, $x = \pm1$.
>
> En $(1, 2)$: $f = 5$ (**máximo**). En $(-1, -2)$: $f = -5$ (**mínimo**).

> [accordion] Ejemplo 5 · Lata de volumen fijo con mínima chapa
>
> Cilindro de volumen $V$ con superficie mínima: minimizar $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ con $\pi r^2 h = V$.
>
> $4\pi r + 2\pi h = \lambda\, 2\pi r h$ y $2\pi r = \lambda\,\pi r^2$, así que $\lambda = 2/r$.
>
> Sustituyendo en la primera: $4\pi r + 2\pi h = 4\pi h$, es decir, $h = 2r$. La lata óptima tiene **la altura igual al diámetro**.

## Errores frecuentes

* **Pensar que todo punto crítico es un extremo.** Hay que clasificarlo; puede ser un punto de silla.
* **Olvidar la frontera** al buscar extremos absolutos. A menudo el máximo está en el borde.
* **Olvidar la restricción** en el sistema de Lagrange: sin $g = c$ hay más incógnitas que ecuaciones.
* **Dividir por una variable que puede ser 0** al resolver el sistema. Hay que estudiar ese caso aparte.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Lagrange dice si es máximo o mínimo?
>
> No por sí solo. Si la restricción es cerrada y acotada (una circunferencia, una esfera) basta con evaluar $f$ en los candidatos. Si no, hay que usar la hessiana orlada o razonar sobre el problema.

> [accordion] ¿Y si las restricciones son desigualdades?
>
> Se usan las condiciones de **Karush-Kuhn-Tucker** (KKT), que generalizan Lagrange: cada restricción o está activa (se cumple con igualdad y lleva su multiplicador) o no influye (su multiplicador es 0). Son la base de la programación no lineal.

## Temas relacionados

> [card] [Derivadas parciales](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/derivadas-parciales.md)
>
> Gradiente y puntos críticos.

> [card] [Taylor en varias variables](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/taylor-varias-variables.md)
>
> De dónde sale el criterio de la hessiana.

> [card] [Autovalores](https://apuntes.simulab.es/matematicas/algebra-lineal/autovalores.md)
>
> Clasificar la hessiana por sus autovalores.


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