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# Integrales dobles y triples: Fubini y cambio de variable

> Integrales dobles y triples: teorema de Fubini, cambio del orden de integración, recintos de tipo I y II, cambio de variable con el jacobiano, coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, y aplicaciones a áreas, volúmenes, masas y centros de masa.

Una integral simple suma valores a lo largo de un intervalo; una **integral doble** los suma sobre una región del plano, y una **triple**, sobre un volumen. Con ellas se calculan áreas, volúmenes, masas, cargas, centros de masa y momentos de inercia. El truco es siempre el mismo: convertirlas en varias integrales simples, una dentro de otra, y elegir las coordenadas que hagan sencillo el recinto.

## Lo que vas a aprender

* Cómo calcular una integral doble con integrales iteradas (Fubini).
* Cómo describir un recinto y cambiar el orden de integración.
* El cambio de variable y el jacobiano.
* Las coordenadas polares, cilíndricas y esféricas con su factor de área o volumen.
* Las aplicaciones físicas: masa, centro de masas e inercia.

## Fundamentos teóricos

### Teorema de Fubini

Sobre un rectángulo $[a, b] \times [c, d]$, si $f$ es continua:

$$
\iint_R f\,dA = \int_a^b \left(\int_c^d f(x, y)\,dy\right) dx = \int_c^d \left(\int_a^b f(x, y)\,dx\right) dy
$$

Se integra primero respecto de una variable tratando la otra como constante.

### Recintos generales

| Tipo | Descripción | Integral |
| - | - | - |
| **I** (vertical) | $a \le x \le b$, $g_1(x) \le y \le g_2(x)$ | $\int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f\,dy\,dx$ |
| **II** (horizontal) | $c \le y \le d$, $h_1(y) \le x \le h_2(y)$ | $\int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f\,dx\,dy$ |

Los límites de la integral **exterior** son siempre números; los de la interior pueden depender de la variable exterior.

**Cambiar el orden** de integración consiste en dibujar el recinto y describirlo del otro tipo. A veces convierte una integral imposible en una inmediata.

### Cambio de variable

Si $x = x(u, v)$, $y = y(u, v)$:

$$
\iint_R f(x, y)\,dx\,dy = \iint_S f\big(x(u,v), y(u,v)\big)\,|J|\,du\,dv
\qquad J = \det\begin{pmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{pmatrix}
$$

El valor absoluto del **jacobiano** $|J|$ mide cuánto se estira el área al pasar de $(u, v)$ a $(x, y)$.

### Coordenadas habituales

| Coordenadas | Cambio | Factor |
| - | - | - |
| Polares | $x = r\cos\theta$, $y = r\operatorname{sen}\theta$ | $dA = r\,dr\,d\theta$ |
| Cilíndricas | Polares en $(x, y)$ y $z = z$ | $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$ |
| Esféricas | $x = \rho\operatorname{sen}\varphi\cos\theta$, $y = \rho\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta$, $z = \rho\cos\varphi$ | $dV = \rho^2\operatorname{sen}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$ |

En esféricas, $\varphi \in [0, \pi]$ es el ángulo con el eje $z$ y $\theta \in [0, 2\pi)$, el ángulo en el plano $xy$.

### Aplicaciones

| Magnitud | Fórmula |
| - | - |
| Área de $R$ | $\iint_R 1\,dA$ |
| Volumen bajo $z = f(x,y)$ | $\iint_R f\,dA$ |
| Volumen de $W$ | $\iiint_W 1\,dV$ |
| Masa con densidad $\rho$ | $M = \iiint_W \rho\,dV$ |
| Centro de masas | $\bar x = \frac{1}{M}\iiint_W x\,\rho\,dV$ (igual para $\bar y$, $\bar z$) |
| Momento de inercia respecto del eje $z$ | $I_z = \iiint_W (x^2 + y^2)\,\rho\,dV$ |

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Integral sobre un rectángulo
>
> $\displaystyle\iint_R xy^2\,dA$ con $R = [0, 2] \times [0, 3]$.
>
> $\int_0^2 \int_0^3 xy^2\,dy\,dx = \int_0^2 x\cdot 9\,dx = 9 \cdot 2 = 18$.
>
> Como la función es producto de una de $x$ y otra de $y$, también vale $\left(\int_0^2 x\,dx\right)\left(\int_0^3 y^2\,dy\right) = 2 \cdot 9$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Recinto de tipo I
>
> $\displaystyle\iint_R x\,dA$ sobre la región entre $y = x^2$ e $y = x$.
>
> Se cortan en $x = 0$ y $x = 1$, con $x^2 \le y \le x$:
>
> $\int_0^1 \int_{x^2}^{x} x\,dy\,dx = \int_0^1 (x^2 - x^3)\,dx = \frac13 - \frac14 = \frac{1}{12}$.

> [accordion] Ejemplo 3 · Cambiar el orden
>
> $\displaystyle\int_0^1 \int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy$ no se puede hacer así: $e^{x^2}$ no tiene primitiva elemental.
>
> El recinto es $0 \le y \le x \le 1$. En orden $dy\,dx$: $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le x$.
>
> $\int_0^1 \int_0^x e^{x^2}\,dy\,dx = \int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx = \frac{e - 1}{2}$.

> [accordion] Ejemplo 4 · Polares: la integral de Gauss
>
> $I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx$. Se calcula $I^2$ como integral doble en todo el plano:
>
> $I^2 = \iint e^{-(x^2+y^2)}dA = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2} r\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac12 = \pi$.
>
> Luego $I = \sqrt{\pi}$. Es la constante que normaliza la [distribución normal](https://apuntes.simulab.es/matematicas/estadistica/distribucion-normal.md).

> [accordion] Ejemplo 5 · Volumen de una esfera en esféricas
>
> $V = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^R \rho^2\operatorname{sen}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^3}{3} = \frac43\pi R^3$.

> [accordion] Ejemplo 6 · Momento de inercia de un cilindro
>
> Cilindro macizo de radio $R$, altura $h$ y densidad $\rho$ uniforme, respecto de su eje:
>
> $I_z = \rho\int_0^h\int_0^{2\pi}\int_0^R r^2 \cdot r\,dr\,d\theta\,dz = \rho \cdot \frac{R^4}{4} \cdot 2\pi h = \frac12 M R^2$, con $M = \rho\pi R^2 h$.

## Errores frecuentes

* **Olvidar el jacobiano**, sobre todo la $r$ de las polares. Sin ella, el área de un círculo saldría $2\pi R$.
* **Poner variables en los límites exteriores.** Los límites de la integral de fuera son siempre constantes.
* **Cambiar el orden sin cambiar los límites.** Hay que volver a describir el recinto, no solo intercambiar $dx$ y $dy$.
* **Confundir los ángulos de las esféricas.** $\varphi$ va de 0 a $\pi$, no de 0 a $2\pi$.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Cómo elijo las coordenadas?
>
> Por la forma del recinto, más que por la función: círculos y sectores, polares; cilindros y conos, cilíndricas; esferas, esféricas. Si además la función depende de $x^2 + y^2$, polares o cilíndricas casi seguro.

> [accordion] ¿Siempre se puede cambiar el orden?
>
> Para funciones continuas en recintos acotados, sí (Fubini). Para integrales impropias hace falta que la integral del valor absoluto sea finita; si no, los dos órdenes pueden dar resultados distintos.

## Temas relacionados

> [card] [Integrales paso a paso](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/integrales.md)
>
> Primitivas de una variable.

> [card] [Cálculo vectorial](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/calculo-vectorial.md)
>
> Integrales de línea y de superficie.

> [card] [Integración numérica](https://apuntes.simulab.es/matematicas/metodos-numericos/integracion-numerica.md)
>
> Cuando no hay primitiva.


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