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# Taylor en varias variables: gradiente, hessiana y aproximación cuadrática

> El desarrollo de Taylor de una función de dos o más variables: plano tangente, aproximación lineal, matriz hessiana, aproximación cuadrática y estimación de errores con diferenciales, con ejemplos resueltos.

En una variable, Taylor aproxima una curva por una recta, una parábola, una cúbica… En varias variables la idea es la misma, pero lo que se aproxima es una **superficie**: primero por su **plano tangente** y después por un **paraboloide** que recoge cómo se curva en cada dirección. Esa aproximación cuadrática es la que permite clasificar máximos y mínimos, y la que usan los métodos de optimización.

## Lo que vas a aprender

* La aproximación lineal y el plano tangente.
* Qué es la matriz hessiana y qué información contiene.
* La fórmula de Taylor de orden 2 en forma escalar y matricial.
* Cómo estimar el error de una magnitud calculada con la diferencial total.

## Fundamentos teóricos

### Orden 1: aproximación lineal

Para $f(x, y)$ cerca de $(a, b)$:

$$
f(x, y) \approx f(a, b) + f_x(a, b)\,(x-a) + f_y(a, b)\,(y-b)
$$

La gráfica de la parte derecha es el **plano tangente**. En forma vectorial, con $\mathbf{h} = (x-a, y-b)$:

$$
f(\mathbf{a} + \mathbf{h}) \approx f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{h}
$$

### La matriz hessiana

Reúne las derivadas segundas:

$$
H f(\mathbf{a}) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}
$$

Si las derivadas segundas son continuas, $f_{xy} = f_{yx}$ (**teorema de Schwarz**) y la hessiana es simétrica.

### Orden 2: aproximación cuadrática

$$
f(\mathbf{a} + \mathbf{h}) \approx f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{h} + \frac12\,\mathbf{h}^T\, H f(\mathbf{a})\, \mathbf{h}
$$

Desarrollado en dos variables, con $h = x-a$ y $k = y-b$:

$$
f \approx f + f_x h + f_y k + \frac12\left(f_{xx} h^2 + 2 f_{xy} h k + f_{yy} k^2\right)
$$

todo evaluado en $(a, b)$. Es la misma estructura que en una variable: valor, pendiente y curvatura.

### Qué dice la hessiana en un punto crítico

En un punto crítico $\nabla f = \mathbf{0}$, así que la forma de la superficie la decide el término cuadrático:

| Hessiana | Forma | Punto |
| - | - | - |
| Definida positiva | Paraboloide hacia arriba | Mínimo |
| Definida negativa | Paraboloide hacia abajo | Máximo |
| Indefinida | Silla de montar | Punto de silla |
| Semidefinida (det = 0) | No se sabe con orden 2 | Hay que estudiarlo aparte |

En dos variables basta con mirar $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ y el signo de $f_{xx}$. Lo desarrolla el tema de [extremos y multiplicadores de Lagrange](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/extremos-lagrange.md).

### Diferencial total y propagación de errores

Si una magnitud $f(x, y)$ se calcula con datos que tienen errores $\Delta x$ y $\Delta y$, la aproximación lineal da

$$
\Delta f \approx |f_x|\,\Delta x + |f_y|\,\Delta y
$$

Es la cota del error en el **peor caso**. Para errores independientes y aleatorios se usa la suma cuadrática: $\Delta f \approx \sqrt{(f_x \Delta x)^2 + (f_y \Delta y)^2}$.

## Ejemplos resueltos

> [accordion] Ejemplo 1 · Plano tangente
>
> Plano tangente a $f(x, y) = x^2 + xy + 2y^2$ en $(1, 1)$.
>
> $f(1,1) = 4$. $f_x = 2x + y = 3$, $f_y = x + 4y = 5$.
>
> $z = 4 + 3(x-1) + 5(y-1)$, es decir, $z = 3x + 5y - 4$.

> [accordion] Ejemplo 2 · Aproximación cuadrática de eˣ cos y
>
> Desarrollo de orden 2 de $f(x, y) = e^x \cos y$ en $(0, 0)$.
>
> $f = 1$. $f_x = e^x\cos y = 1$, $f_y = -e^x \operatorname{sen} y = 0$.
>
> $f_{xx} = 1$, $f_{xy} = -e^x\operatorname{sen} y = 0$, $f_{yy} = -e^x \cos y = -1$.
>
> $e^x\cos y \approx 1 + x + \frac12(x^2 - y^2)$.
>
> Se puede comprobar multiplicando los desarrollos: $(1 + x + \frac{x^2}{2})(1 - \frac{y^2}{2})$ y quedándose con los términos de grado 2 o menos.

> [accordion] Ejemplo 3 · Valor aproximado
>
> Estima $f(1{,}02;\ 0{,}97)$ para $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2 + 2}$, sabiendo que $f(1, 1) = 2$.
>
> $f_x = x/f = 0{,}5$ y $f_y = y/f = 0{,}5$ en $(1, 1)$.
>
> $f \approx 2 + 0{,}5 \cdot 0{,}02 + 0{,}5 \cdot (-0{,}03) = 1{,}995$. El valor real es $1{,}99532$.

> [accordion] Ejemplo 4 · Error en el volumen de un cilindro
>
> Se miden un radio $r = 5{,}0 \pm 0{,}1$ cm y una altura $h = 10{,}0 \pm 0{,}2$ cm. ¿Error del volumen $V = \pi r^2 h$?
>
> $V_r = 2\pi r h = 100\pi$, $V_h = \pi r^2 = 25\pi$.
>
> $\Delta V \approx 100\pi \cdot 0{,}1 + 25\pi \cdot 0{,}2 = 15\pi \approx 47$ cm³, sobre $V = 250\pi \approx 785$ cm³: un 6 %.
>
> En relativo es más rápido: $\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta h}{h} = 0{,}04 + 0{,}02$.

## Errores frecuentes

* **Olvidar el factor 2 del término cruzado.** En la forma escalar aparece $2 f_{xy} h k$, porque $f_{xy}$ y $f_{yx}$ son iguales y se suman.
* **Olvidar el $\frac12$ delante del término cuadrático.**
* **Evaluar las derivadas en el punto nuevo.** Todas se evalúan en el punto de desarrollo $(a, b)$.
* **Concluir con la hessiana semidefinida.** Si su determinante es 0, el orden 2 no decide: hace falta ir a orden superior o estudiar la función directamente.

## Preguntas frecuentes

> [accordion] ¿Y en tres o más variables?
>
> La forma matricial $f(\mathbf{a}) + \nabla f \cdot \mathbf{h} + \frac12 \mathbf{h}^T H \mathbf{h}$ vale igual: la hessiana es $n \times n$. Para clasificar se miran sus autovalores o los menores principales.

> [accordion] ¿Dónde se usa en ingeniería?
>
> En optimización (el método de Newton minimiza la aproximación cuadrática en cada paso), en la propagación de incertidumbres de un laboratorio, en la linealización de sistemas no lineales alrededor de un punto de trabajo y en el estudio de la estabilidad de equilibrios.

## Temas relacionados

> [card] [Polinomio de Taylor](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/taylor.md)
>
> El caso de una variable.

> [card] [Derivadas parciales](https://apuntes.simulab.es/matematicas/varias-variables/derivadas-parciales.md)
>
> Gradiente y derivada direccional.

> [card] [Superficies en 3D](https://apuntes.simulab.es/matematicas/calculo/superficies.md)
>
> Dibuja la superficie y su plano tangente.


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