Teorema de Thevenin y Norton: equivalentes, recta de carga y Millman

Imagina que tienes que calcular la corriente por una resistencia de carga para tres valores distintos. Por mallas, son tres sistemas de ecuaciones. Con Thevenin, el resto del circuito se convierte una sola vez en una pila con una resistencia, y cada caso se resuelve con una división. Es el teorema más útil de la teoría de circuitos: simplifica cálculos, explica la recta de carga y es la base para analizar diodos y transistores.

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Lo que vas a aprender

• Qué dicen los teoremas de Thevenin y Norton y cuándo se pueden aplicar.
• Calcular $V_{TH}$ como tensión de vacío y $R_{TH}$ anulando las fuentes.
• Resolver una red en escalera por etapas, con divisores de tensión y paralelos.
• Plantear el análisis por mallas y comprobar el resultado.
• Dibujar la recta de carga y encontrar el punto de funcionamiento.
• Cuándo recibe una carga la máxima potencia.
• Aplicar el teorema de Millman y el de superposición.

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Cómo se usa el simulador

Modo «Thevenin y Norton»

• La vista Circuito / Thevenin / Norton cambia el dibujo por cada equivalente, con la misma carga conectada.
• Thevenin por etapas muestra cada divisor y cada paralelo con los números del circuito.
• Comprobación por mallas monta el sistema $[R][I] = [V]$ y lo resuelve.
• La recta de carga y la curva de potencia en la carga se actualizan al mover $R_L$. El botón R_L = R_TH lleva la carga al punto de máxima potencia.

Modo «Millman y superposición»: de 2 a 4 ramas en paralelo entre A y B, cada una con una fuente (o sin ella) y una resistencia. Se calcula $U_{AB}$ con Millman y la contribución de cada fuente sola.

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Fundamentos teóricos

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Circuitos de continua y linealidad

En un circuito de continua nada cambia con el tiempo: los condensadores se comportan como circuitos abiertos ($i_C = C\,du_C/dt = 0$) y las bobinas como cortocircuitos ($u_L = L\,di_L/dt = 0$). Un circuito es lineal si solo tiene fuentes y elementos lineales como resistencias. Los teoremas de este tema valen para circuitos lineales. Los diodos y los transistores no lo son, y por eso en electrónica se combinan estos teoremas con métodos gráficos.

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Asociaciones y divisores

Dos resistencias en paralelo se escriben $R_1 \parallel R_2 = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$: producto entre suma. Las dos herramientas que se usan sin parar son los divisores: $$\text{Divisor de tensión:}\quad U_{R_1} = U\,\frac{R_1}{R_1 + R_2} \qquad\qquad \text{Divisor de corriente:}\quad I_{R_1} = I\,\frac{R_2}{R_1 + R_2}$$ En el divisor de tensión cada resistencia se queda con una parte proporcional a su valor. En el de corriente, por cada rama pasa más corriente cuanto menor es su resistencia (en la fórmula aparece la de la otra rama).

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Teorema de Thevenin

• $V_{TH}$ es la tensión de vacío: la que hay entre A y B sin nada conectado.
• $R_{TH}$ se calcula de dos formas:
  1. Anulando las fuentes independientes y mirando la resistencia entre A y B. Anular una fuente de tensión es cambiarla por un cortocircuito; anular una de corriente, por un circuito abierto.
  2. Como $R_{TH} = V_{AB,vacío} / I_{AB,cc}$: tensión de vacío entre corriente de cortocircuito (uniendo A y B con un cable).

Con el equivalente, la corriente por cualquier carga sale de una sola división: $$i_L = \frac{V_{TH}}{R_{TH} + R_L}$$

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Teorema de Norton

El mismo circuito se puede sustituir también por una fuente de corriente $I_{NO}$ en paralelo con $R_{NO}$: $$I_{NO} = I_{AB,cc} = \frac{V_{TH}}{R_{TH}} \qquad R_{NO} = R_{TH}$$ Thevenin y Norton son la misma cosa vista de dos formas: es la equivalencia entre una fuente real de tensión y una fuente real de corriente.

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Resolver por etapas

En una red en escalera, en la que cada bloque es una resistencia en serie y otra a masa, Thevenin se aplica de izquierda a derecha. Cada bloque con su fuente se convierte en un Thevenin nuevo, que hace de fuente para el siguiente: $$V_{TH_k} = V_{TH_{k-1}}\,\frac{R_{p}}{(R_{TH_{k-1}} + R_s) + R_p} \qquad R_{TH_k} = (R_{TH_{k-1}} + R_s) \parallel R_p$$ Una resistencia en serie al final no cambia $V_{TH}$, porque en vacío no circula corriente por ella, pero sí se suma a $R_{TH}$.

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Análisis por mallas

Se asigna a cada malla una corriente ficticia y se aplica la 2.ª ley de Kirchhoff. Queda un sistema $[R]\,[I] = [V]$ que se puede montar a ojo:

• Diagonal $R_{kk}$: suma de todas las resistencias de la malla $k$.
• Fuera de la diagonal $R_{jk}$: menos la resistencia que comparten las mallas $j$ y $k$.
• Término independiente: suma de las fuentes de la malla, positivas si empujan en el sentido de su corriente.

La matriz es simétrica. El método siempre funciona, pero hay que resolver un sistema entero cada vez que cambia un componente.

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Recta de carga y punto de funcionamiento

Todo circuito lineal visto desde dos terminales cumple $u = V_{TH} - R_{TH}\,i$: los pares $(u, i)$ que puede dar forman una recta, la recta de carga. Se dibuja con dos puntos:

• En vacío ($i = 0$): $u = V_{TH}$.
• En cortocircuito ($u = 0$): $i = V_{TH}/R_{TH} = I_{NO}$.

Al conectar un dipolo, el punto de funcionamiento es el corte de la recta con la curva característica del dipolo. Para una resistencia es la recta $i = u/R_L$; para un diodo, una curva. Así se resuelven gráficamente los circuitos no lineales.

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Máxima transferencia de potencia

La potencia en la carga es $$P_L = i_L^2\,R_L = \frac{V_{TH}^2\,R_L}{(R_{TH} + R_L)^2}$$ Derivando respecto a $R_L$ e igualando a cero, es máxima cuando $R_L = R_{TH}$: $$P_{L,\text{máx}} = \frac{V_{TH}^2}{4\,R_{TH}}$$ En ese punto la carga tiene la mitad de $V_{TH}$, y en $R_{TH}$ se pierde la misma potencia que recibe la carga: el rendimiento es del 50 %.

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Teorema de Millman

Si entre dos nudos hay varias ramas en paralelo, cada una con una fuente $U_k$ en serie con $R_k$ (una rama sin fuente tiene $U_k = 0$): $$U_{AB} = \frac{\dfrac{U_1}{R_1} + \dfrac{U_2}{R_2} + \dots + \dfrac{U_n}{R_n}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots + \dfrac{1}{R_n}}$$ Es una media ponderada de las tensiones en la que pesa más la rama con menos resistencia. Sale de pasar cada rama a Norton ($U_k/R_k$ en paralelo con $R_k$) y sumar.

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Superposición

En un circuito lineal con varias fuentes, la respuesta de cualquier elemento es la suma de las respuestas a cada fuente actuando sola, con las demás anuladas (las de tensión en cortocircuito, las de corriente en abierto). No vale para la potencia, porque es cuadrática.

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Ejemplos resueltos

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Experimenta con el simulador

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Errores frecuentes

• Calcular $V_{TH}$ con la carga conectada. Es la tensión de vacío: hay que quitar la carga.
• Anular mal las fuentes. Una fuente de tensión anulada es un cortocircuito, no un abierto; una de corriente, un abierto.
• Olvidar la resistencia en serie de la etapa anterior. En el Thevenin por etapas, la resistencia en serie de cada bloque es la $R_{TH}$ anterior más la nueva.
• Usar la resistencia propia en el divisor de corriente. Para dos ramas, $I_{R_1} = I\,R_2/(R_1 + R_2)$: va la de la otra rama.
• Aplicar superposición a la potencia. Se suman tensiones y corrientes, y después se calcula la potencia.
• Olvidar la rama sin fuente en el denominador de Millman. Arriba aporta 0, pero abajo suma $1/R$.

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Limitaciones

Los teoremas de Thevenin y Norton solo valen para la parte lineal del circuito. Si hay diodos o transistores, se aplica el teorema a todo lo demás y el elemento no lineal se resuelve con la recta de carga o con un modelo linealizado. Si hay fuentes dependientes (por ejemplo, en el modelo de un transistor), $R_{TH}$ no se puede calcular anulando todas las fuentes: hay que usar $V_{vacío}/I_{cc}$ o conectar una fuente de prueba. En alterna los teoremas siguen valiendo con impedancias complejas, y la máxima potencia se alcanza cuando la carga es la conjugada de $Z_{TH}$.

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Un poco de historia

Léon Charles Thévenin, ingeniero de telégrafos francés, publicó su teorema en 1883, aunque Hermann von Helmholtz había llegado a un resultado equivalente en 1853. El equivalente con fuente de corriente lo publicaron en 1926, por separado, Edward Lawry Norton en los laboratorios Bell y Hans Ferdinand Mayer en Siemens. El teorema de Millman es de Jacob Millman (1940), conocido por sus libros de electrónica.

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Preguntas frecuentes

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