Controlador PID: acción proporcional, integral y derivativa y cómo ajustarlo

Más del 90 % de los lazos de control de la industria usan un PID: regula la temperatura de un horno, la presión de una tubería, la velocidad de un motor, la altura de un dron o la posición del cabezal de una impresora 3D. Su idea es sencilla: actuar según el error ahora (P), según el error acumulado (I) y según hacia dónde va el error (D). Ajustar bien sus tres números es una de las tareas más comunes de un ingeniero de control.

Lo que vas a aprender

La ecuación del PID y su función de transferencia.
Qué hace cada acción y qué problemas resuelve y crea.
Cuándo usar P, PI, PD o PID.
Cómo ajustar los parámetros, a mano y con Ziegler-Nichols.
Los problemas prácticos: windup, ruido en la derivada y saturación.
Cómo se programa un PID digital.

Fundamentos teóricos

La ley de control

Con el error

e(t) = r(t) - y(t)

entre la referencia y la salida medida:

u(t) = K_p\,e(t) + K_i\int_0^t e(\tau)\,d\tau + K_d\,\frac{de(t)}{dt}

En Laplace:

C(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d\,s = K_p\left(1 + \frac{1}{T_i\,s} + T_d\,s\right)

La segunda forma, con el tiempo integral

T_i = K_p/K_i

y el tiempo derivativo

T_d = K_d/K_p

, es la habitual en la industria.

Qué hace cada acción

Acción	Actúa según	Ventaja	Problema
P	El error actual	Respuesta inmediata	Deja error permanente; con mucha ganancia, oscila
I	El error acumulado	Elimina el error permanente	Hace el sistema más lento y oscilante
D	La velocidad del error	Anticipa, frena y amortigua	Amplifica el ruido

Proporcional. Más error, más acción. Pero si la planta necesita una acción

u \ne 0

para mantenerse (un horno necesita calor para compensar pérdidas), hace falta un error

\ne 0

para producirla: queda un error permanente

\frac{1}{1 + K_p G(0)}

. Integral. Mientras quede algo de error, la integral sigue creciendo y la acción sigue aumentando. Solo se para cuando el error es exactamente cero. Añade un polo en el origen, que convierte el sistema en tipo 1 (ver función de transferencia). Derivativa. Si el error se reduce deprisa, frena la acción antes de llegar, evitando que se pase. Es como mirar hacia delante.

Efecto de aumentar cada ganancia

Aumentar	Tiempo de subida	Sobreoscilación	Tiempo de establecimiento	Error permanente
$K_p$	Baja	Sube	Poco efecto	Baja
$K_i$	Baja	Sube	Sube	Se elimina
$K_d$	Poco efecto	Baja	Baja	Ninguno

Son tendencias orientativas; con plantas complicadas pueden cambiar.

Variantes

Controlador	Cuándo
P	Cuando se tolera algo de error (niveles de depósitos)
PI	El más usado: caudal, presión, temperatura, velocidad
PD	Posición, cuando la planta ya tiene un integrador (motores en posición)
PID	Cuando hace falta rapidez sin sobreoscilación y la medida tiene poco ruido

Ajuste de Ziegler-Nichols (método de oscilación)

Con solo acción P, sube $K_p$ hasta que la salida oscile de forma sostenida. Esa es la ganancia crítica $K_u$ , y el periodo de oscilación, $T_u$ .
Usa la tabla:

Controlador	$K_p$	$T_i$	$T_d$
P	$0{,}5\,K_u$
PI	$0{,}45\,K_u$	$T_u/1{,}2$
PID	$0{,}6\,K_u$	$T_u/2$	$T_u/8$

Da un ajuste agresivo (sobreoscilación del orden del 25 %), que suele usarse como punto de partida.

Ajuste manual

Con $K_i = K_d = 0$ , sube $K_p$ hasta una respuesta rápida con algo de oscilación.
Añade $K_d$ hasta que la oscilación se amortigüe.
Añade $K_i$ poco a poco hasta eliminar el error en un tiempo razonable.
Retoca.

Problemas prácticos

Windup integral. Si el actuador se satura (válvula abierta del todo, motor al 100 %), el error sigue y la integral crece sin control. Al recuperar, el sistema se pasa muchísimo. Solución: anti-windup, que congela o limita la integral mientras hay saturación.
Ruido en la derivada. Derivar una medida con ruido da picos enormes. Se filtra: $K_d\frac{s}{1 + s\,T_d/N}$ , con $N$ entre 5 y 20.
Golpe de derivada. Un salto en la referencia hace la derivada del error infinita. Se deriva solo la medida $-y$ , no el error.

PID digital

En un microcontrolador, cada periodo de muestreo

T_s

error = referencia - medida;
integral += error * Ts;
integral = limitar(integral, -I_MAX, I_MAX);   // anti-windup
derivada = (medida_anterior - medida) / Ts;     // sobre la medida
u = Kp * error + Ki * integral + Kd * derivada;
u = limitar(u, U_MIN, U_MAX);
medida_anterior = medida;

T_s

debe ser bastante menor que la constante de tiempo del sistema, del orden de 10 a 20 veces.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Error con solo P

Un horno con

G(s) = \frac{2}{100s + 1}

(°C por % de potencia) y

K_p = 4

. Referencia: escalón de 100 °C.

e_{ss} = \frac{1}{1 + 4\cdot2} = 0{,}111

: se queda en 88,9 °C. Para un error del 1 % haría falta

K_p = 49{,}5

, y con retrasos reales el lazo oscilaría.

Ejemplo 2 · Con PI desaparece el error

Añadiendo

K_i

C(s) = 4 + \frac{K_i}{s}

. El lazo abierto

C G

tiene un polo en

s = 0

, así que

e_{ss} = \lim_{s\to0}\frac{1}{1 + C(s)G(s)} = 0

, para cualquier

K_i > 0

.Un ajuste habitual es colocar el cero del PI,

s = -K_i/K_p

, sobre el polo de la planta (

s = -0{,}01

K_i = 0{,}04

. Queda

CG = \frac{0{,}08}{s}

y el lazo cerrado es un primer orden con

\tau = 12{,}5

s y error nulo.

Ejemplo 3 · Ziegler-Nichols

En un ensayo, la salida oscila de forma sostenida con

K_u = 8

y periodo

T_u = 20

s.PID:

K_p = 4{,}8

T_i = 10

T_d = 2{,}5

s. Es decir,

K_i = 0{,}48

s⁻¹ y

K_d = 12

s.PI:

K_p = 3{,}6

T_i = 16{,}7

Ejemplo 4 · Control de posición de un motor (PD)

Motor en posición:

G(s) = \frac{1}{s(s + 2)}

, con controlador PD

K_p + K_d s

.Lazo cerrado:

\frac{K_p + K_d s}{s^2 + (2 + K_d)s + K_p}

. Para

\omega_n = 10

rad/s y

\zeta = 0{,}7

K_p = 100

2 + K_d = 14

, es decir,

K_d = 12

.Sin la derivativa (

K_d = 0

), con

K_p = 100

saldría

\zeta = 0{,}1

: se pasaría un 73 %.

Ejemplo 5 · Windup

Un dron sujeto al suelo durante 5 s con el error de altura a 2 m y

K_i = 1

s⁻¹: la integral acumula 10, y la acción integral pide un empuje enorme. Al soltarlo, sale disparado hacia arriba mucho más de lo que debería. Limitando la integral (anti-windup) el despegue es suave.

Errores frecuentes

Subir $K_p$ para eliminar el error. Solo lo reduce; para eliminarlo hace falta acción integral (o que la planta ya tenga un integrador).
Poner derivada con una medida ruidosa sin filtrarla. El actuador vibra.
Olvidar el anti-windup. Es la causa más común de sobreoscilaciones enormes en sistemas reales.
Ajustar con unidades mezcladas. $K_i$ y $K_d$ dependen de si el tiempo va en segundos o milisegundos.
Muestrear demasiado despacio en un PID digital: añade retraso y desestabiliza.

Preguntas frecuentes

¿Por qué casi nunca se usa la derivativa?

Porque muchos procesos industriales (caudal, presión, nivel) son lentos y tienen medidas con ruido. Un PI bien ajustado basta y es más robusto. La derivativa se reserva para procesos con inercia, como la temperatura o la posición, donde sí ayuda a no pasarse.

¿Hay alternativas al PID?

Sí: el control predictivo (MPC), que optimiza las acciones futuras con un modelo; el control por realimentación de estados; el control robusto y el adaptativo. Pero el PID sigue siendo el estándar por ser sencillo, entendible y suficiente en la mayoría de los casos.

Temas relacionados

Función de transferencia

Estabilidad y respuesta temporal.

Derivadas paso a paso

La acción derivativa.

Integrales paso a paso

La acción integral.

Matemáticas

Física

Química

Electrónica

Programación

Inglés

Infantil

Controlador PID: acción proporcional, integral y derivativa y cómo ajustarlo

Lo que vas a aprender

Fundamentos teóricos

La ley de control

Qué hace cada acción

Efecto de aumentar cada ganancia

Variantes

Ajuste de Ziegler-Nichols (método de oscilación)

Ajuste manual

Problemas prácticos

PID digital

Ejemplos resueltos

Errores frecuentes

Preguntas frecuentes

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