Función de transferencia y estabilidad: polos, ceros y respuesta temporal

El termostato de casa, el control de crucero de un coche, el piloto automático de un avión o la regulación de velocidad de un motor tienen la misma estructura: miden lo que pasa, lo comparan con lo que debería pasar y actúan para corregir la diferencia. Es la realimentación. Para diseñarlos se describe cada parte con su función de transferencia, que permite predecir si el sistema será rápido, si oscilará y, sobre todo, si será estable.

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Lo que vas a aprender

• La diferencia entre control en lazo abierto y en lazo cerrado.
• Qué es una función de transferencia y cómo se obtiene.
• Cómo simplificar diagramas de bloques.
• Qué dicen los polos y ceros sobre la respuesta.
• Las respuestas de primer y segundo orden y sus parámetros.
• El error en régimen permanente y el criterio de Routh.

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Fundamentos teóricos

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Lazo abierto y lazo cerrado

• Lazo abierto: la acción no depende del resultado. Una tostadora con temporizador: si el pan es más grueso, sale menos tostado.
• Lazo cerrado: se mide la salida y se compara con la referencia. La diferencia, el error, alimenta al controlador. Corrige perturbaciones y variaciones del sistema.

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Función de transferencia

Con la transformada de Laplace y condiciones iniciales nulas: $$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m s^m + \cdots + b_0}{a_n s^n + \cdots + a_0}$$ Las raíces del numerador son los ceros y las del denominador, los polos. El grado del denominador es el orden del sistema.

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Diagramas de bloques

Con $G$ en la cadena directa y $H$ en la realimentación. El producto $G H$ es la función de lazo abierto y $1 + GH = 0$, la ecuación característica del lazo cerrado.

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Polos y estabilidad

Cada polo $p$ aporta a la respuesta un término $e^{pt}$: Un sistema es estable si y solo si todos sus polos tienen parte real negativa (están en el semiplano izquierdo). Cuanto más a la izquierda, más rápido.

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Primer orden

$$G(s) = \frac{K}{\tau s + 1} \qquad y(t) = K\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \text{ ante un escalón unitario}$$

• $K$: ganancia estática (valor final).
• $\tau$: constante de tiempo. A $t = \tau$ llega al 63,2 %; en unas $4\tau$, al 98 % (tiempo de establecimiento al 2 %).

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Segundo orden

$$G(s) = \frac{K\,\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

• $\omega_n$: frecuencia natural.
• $\zeta$: coeficiente de amortiguamiento.

Para $0 < \zeta < 1$: $$M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \qquad t_p = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} \qquad t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}$$ $M_p$ es la sobreoscilación (cuánto se pasa, en tanto por uno), $t_p$ el instante del primer pico y $t_s$ el tiempo de establecimiento al 2 %. Puedes ver estos tres comportamientos en el simulador de amortiguador de masa.

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Error en régimen permanente

Con realimentación unitaria, por el teorema del valor final: $$e_{ss} = \lim_{s\to0}\frac{s\,R(s)}{1 + G(s)}$$ Un integrador en el lazo elimina el error ante escalones: es el papel de la acción integral del PID.

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Criterio de Routh-Hurwitz

Permite saber si un polinomio tiene raíces en el semiplano derecho sin calcularlas. Para $a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0$, con todos los coeficientes positivos, es estable si y solo si $$a_2 a_1 > a_3 a_0$$ En general se construye la tabla de Routh: el número de cambios de signo en la primera columna es el número de polos inestables.

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Ejemplos resueltos

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Errores frecuentes

• Pensar que más ganancia siempre es mejor. Reduce el error y acelera, pero acerca los polos a la inestabilidad.
• Usar el valor final en sistemas inestables. El teorema solo vale si $sY(s)$ tiene todos los polos en el semiplano izquierdo.
• Confundir la $G(s)$ de lazo abierto con la $T(s)$ de lazo cerrado. La estabilidad se decide con los polos de $T$, es decir, con $1 + GH = 0$.
• Olvidar que un cero cambia la respuesta. Las fórmulas de $M_p$ y $t_s$ son para un segundo orden sin ceros.

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Preguntas frecuentes

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