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Abrir el simulador

Una partícula cuántica como una onda que avanza, se ensancha, rebota y atraviesa barreras.
Una pelota que llega a un muro más alto de lo que puede saltar rebota. Siempre. Una partícula cuántica, no: a veces lo atraviesa. Este efecto túnel explica la radiactividad alfa, la fusión nuclear en el Sol y el funcionamiento de las memorias flash. Para verlo, el simulador resuelve la ecuación de Schrödinger para un paquete de ondas que viaja hacia distintos potenciales.

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Lo que vas a aprender

  • Cómo se describe una partícula localizada con un paquete de ondas.
  • La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
  • Por qué un paquete se ensancha: el principio de incertidumbre.
  • Qué es el efecto túnel y cómo se calcula la probabilidad de atravesar una barrera.
  • Por qué hay reflexión aunque haya energía para pasar.

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Cómo se usa el simulador

  • Potencial: libre, barrera, escalón, pozo u oscilador.
  • El relleno es la probabilidad ∣ψ∣2|\psi|^2, la línea clara la parte real de ψ, el gris el potencial y la discontinua la energía del paquete.
  • El panel da la energía del paquete, el cociente E/V0E/V_0, el porcentaje reflejado y transmitido y la probabilidad total (que siempre es 100 %).
  • Las unidades son ℏ=m=1\hbar = m = 1.

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Fundamentos teóricos

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La ecuación de Schrödinger

La función de onda de una partícula en una dimensión evoluciona según: iℏ∂ψ∂t=−ℏ22m∂2ψ∂x2+V(x) ψi\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi ∣ψ(x,t)∣2|\psi(x, t)|^2 es la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en xx.

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Paquete de ondas

Una onda plana eik0xe^{ik_0x} tiene un momento exacto, p=ℏk0p = \hbar k_0, pero está extendida por todo el espacio. Para describir una partícula localizada se multiplica por una envolvente gaussiana de anchura σ\sigma: ψ(x,0)∝e−(x−x0)2/4σ2 eik0x\psi(x, 0) \propto e^{-(x - x_0)^2/4\sigma^2}\,e^{ik_0x} Su energía media es E=ℏ2k022m+ℏ28mσ2E = \dfrac{\hbar^2k_0^2}{2m} + \dfrac{\hbar^2}{8m\sigma^2}.

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Por qué se ensancha

Un paquete localizado es una mezcla de ondas con distintos momentos. Cada una avanza a su velocidad, así que el paquete se va dispersando. Es el principio de incertidumbre: Δx Δp≥ℏ2\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2} Cuanto más estrecho al principio, mayor dispersión de momentos y antes se ensancha.

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Efecto túnel

Si el paquete llega a una barrera de altura V0>EV_0 > E, en mecánica clásica rebotaría entero. En cuántica, dentro de la barrera la onda no se anula de golpe, sino que decae exponencialmente con: κ=2m(V0−E)ℏ\kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} Si la barrera es fina, llega algo al otro lado. Para una barrera rectangular de anchura aa, la probabilidad de transmisión de una onda plana es: T=[1+V02sinh⁡2(κa)4E(V0−E)]−1T = \left[1 + \frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0 - E)}\right]^{-1} Para barreras gruesas, T≈e−2κaT \approx e^{-2\kappa a}: cae exponencialmente con la anchura y con V0−E\sqrt{V_0 - E}.

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Reflexión cuántica

Incluso con E>V0E > V_0, una parte de la onda se refleja en cualquier cambio brusco del potencial, como la luz se refleja en parte al pasar del aire al vidrio.

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El método numérico

El simulador usa el método de Crank-Nicolson, que es estable y unitario: conserva exactamente la probabilidad total.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Túnel a través de una barrera

E=0,5E = 0{,}5, V0=0,6V_0 = 0{,}6, a=3a = 3 (unidades ℏ=m=1\hbar = m = 1).κ=2⋅0,1=0,447\kappa = \sqrt{2 \cdot 0{,}1} = 0{,}447; κa=1,342\kappa a = 1{,}342; sinh⁡(1,342)=1,782\sinh(1{,}342) = 1{,}782.T=[1+0,36⋅3,184⋅0,5⋅0,1]−1=0,149T = \left[1 + \dfrac{0{,}36 \cdot 3{,}18}{4 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}1}\right]^{-1} = 0{,}149: un 15 % pasa, aunque no tiene energía suficiente.
Con k0=1k_0 = 1 y σ=6\sigma = 6: E=12+18⋅36=0,503E = \tfrac12 + \dfrac{1}{8 \cdot 36} = 0{,}503. Es el valor que muestra el simulador.

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Experimenta con el simulador

1

Libre

Con el potencial libre, compara un paquete con σ = 2 y otro con σ = 15. ¿Cuál se ensancha antes?
2

Efecto túnel

Con la barrera, ajusta E/V0<1E/V_0 < 1. Mide el porcentaje transmitido para anchuras de 1, 3 y 6.
3

Reflexión con energía de sobra

Sube k0k_0 para que E>V0E > V_0. ¿Pasa todo el paquete?
4

Oscilador

Con el oscilador, mira cómo el paquete va y viene. ¿Recupera su forma?

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Errores frecuentes

  • Pensar que la partícula “se divide” en la barrera. Al medir, aparece entera a un lado o al otro, con las probabilidades RR y TT.
  • Creer que el túnel viola la conservación de la energía. La partícula tiene la misma energía antes y después.
  • Olvidar que TT depende exponencialmente de la anchura. Una barrera el doble de gruesa no deja pasar la mitad, sino muchísimo menos.

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Preguntas frecuentes

En la radiactividad alfa, en la fusión nuclear del Sol, en el microscopio de efecto túnel, en los diodos túnel y en las memorias flash.
Porque cualquier cambio brusco del potencial produce una onda reflejada. Es una propiedad de las ondas sin equivalente en la mecánica clásica de partículas.

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Última modificación el 6 de octubre de 2026