Tema 1: Conjuntos, aplicaciones, relaciones y números complejos

Apuntes: Algreba Lineal Tema 1 · Hoja de problemas resuelta: Tema1

Cómo leer esta nota

Es la teoría del tema, en el orden de los apuntes (1.2 a 1.5). Los ejercicios están resueltos aparte, en Tema1.

Conjuntos

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y distinguibles entre sí, sus elementos (definición intuitiva de Cantor). Se escribe $a \in A$ : " $a$ pertenece a $A$ ".

Igualdad: dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. El orden no importa y los repetidos cuentan una sola vez: $\{1,2,3,4,5,2,4\} = \{5,3,1,2,4\}$ .
Se describen por extensión (lista entre llaves) o por comprensión: $\{x \;/\; x^2 - 1 = 0\}$ , "el conjunto de los $x$ tales que…".
Conjuntos numéricos: $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C$ .
Conjunto vacío $\varnothing$ : no tiene elementos, y $\varnothing \subset A$ para todo $A$ .

Inclusión y operaciones

Operación	Definición
Inclusión $A \subset B$	Todo elemento de $A$ está en $B$
Unión $A \cup B$	Elementos que están en al menos uno de los dos
Intersección $A \cap B$	Elementos que están en los dos
Diferencia $U \setminus A$	$\{x \in U \;/\; x \notin A\}$
Complementario $C_U A$	Si $A \subset U$ : los elementos de $U$ que no están en $A$
Producto cartesiano $A \times B$	$\{(a,b) \;/\; a \in A,\ b \in B\}$ (pares ordenados)

Ejemplo: $\{x,y,z\} \times \{a,b\} = \{(x,a),(x,b),(y,a),(y,b),(z,a),(z,b)\}$ .

💡 Cómo se demuestra que dos conjuntos son iguales

Por doble inclusión: se prueba $X \subset Y$ ("tomo un $x \in X$ cualquiera y veo que está en $Y$ ") y luego $Y \subset X$ .

Ejemplo de los apuntes: $A \cup B = A \iff B \subset A$ y $A \cap B = A \iff A \subset B$ .

Propiedades (operaciones booleanas)

Con $A, B \subset U$ (conjunto universal):

$A \cup \varnothing = A$ , $\;A \cap \varnothing = \varnothing$
Idempotencia: $A \cup A = A \cap A = A$
Conmutativa y asociativa para $\cup$ y $\cap$
Distributivas: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ y $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
$A \cup U = U$ , $\;A \cap U = A$ , $\;A \cup C_U A = U$ , $\;A \cap C_U A = \varnothing$
Leyes de De Morgan: $C_U(A \cup B) = C_U A \cap C_U B$ y $C_U(A \cap B) = C_U A \cup C_U B$

Todo esto se generaliza a familias $\{A_i\}_{i \in I}$ : $\bigcup_i A_i = \{x \;/\; \exists i,\ x \in A_i\}$ y $\bigcap_i A_i = \{x \;/\; \forall i,\ x \in A_i\}$ , y De Morgan sigue valiendo.

Aplicaciones

Una correspondencia de $A$ en $B$ es cualquier subconjunto de $A \times B$ . Si $(a,b)$ está en ella, se escribe $f(a) = b$ .
Es una aplicación si a cada elemento de $A$ le asocia uno y solo uno de $B$ :
1. $\forall x \in A\ \exists f(x) \in B$ (todos tienen imagen);
2. $x = y \Rightarrow f(x) = f(y)$ (la imagen es única).
Ejemplo: $f(x) = \sqrt{x}$ de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ no es aplicación, porque $-1$ no tiene imagen.
Imagen: $\text{Im} f = f(A) = \{y \in B \;/\; \exists x \in A,\ f(x) = y\}$ .
Grafo: $\text{gr} f = \{(a, f(a)) \;/\; a \in A\}$ .
Antiimagen de $b$ : $f^{-1}(b) = \{a \in A \;/\; f(a) = b\}$ . De un conjunto $D \subset B$ : $f^{-1}(D) = \{a \in A \;/\; f(a) \in D\}$ .

Clasificación

Tipo	Definición	En palabras
Inyectiva	$f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$	Elementos distintos van a imágenes distintas
Suprayectiva	$\forall b \in B\ \exists a \in A \;/\; f(a) = b$	Todo $B$ es imagen de algo: $\text{Im} f = B$
Biyectiva	Inyectiva y suprayectiva	Emparejamiento perfecto uno a uno

El seno según dónde se defina ( $f(x) = \operatorname{sen} x$ )

$A \to B$	¿Aplicación?	¿Inyectiva?	¿Suprayectiva?
$\mathbb R^+ \to \mathbb R^+$	No: $f(3\pi/2) = -1 \notin \mathbb R^+$	—	—
$\mathbb R \to \mathbb R$	Sí	No: $f(0) = f(\pi)$	No: $2 \notin \text{Im} f$
$\mathbb R \to [-1,1]$	Sí	No	Sí
$[-\pi/2, \pi/2] \to [-1,1]$	Sí	Sí	Sí → biyectiva
$[0,\pi] \to [0,1]$	Sí	No	Sí

La misma fórmula es o no inyectiva/suprayectiva según el dominio y el codominio.

Composición

Si $f: A \to B$ , $g: C \to D$ y $f(A) \subset C$ , la composición es $(g \circ f)(a) = g(f(a))$ : primero $f$ , después $g$ .

Propiedades, con $h = g \circ f$ ( $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ ):

$f$ y $g$ inyectivas $\Rightarrow$ $h$ inyectiva.
$f$ y $g$ suprayectivas $\Rightarrow$ $h$ suprayectiva.
$h$ inyectiva $\Rightarrow$ $f$ inyectiva (la de dentro).
$h$ suprayectiva $\Rightarrow$ $g$ suprayectiva (la de fuera).
$h$ inyectiva y $f$ suprayectiva $\Rightarrow$ $g$ inyectiva.
$h$ suprayectiva y $g$ inyectiva $\Rightarrow$ $f$ suprayectiva.

Identidad: $I_A(x) = x$ . Es biyectiva.
Inversa: si $f$ es biyectiva, $f^{-1}: B \to A$ lleva cada $b$ al único $a$ con $f(a) = b$ . Cumple $f \circ f^{-1} = I_B$ y $f^{-1} \circ f = I_A$ .

Relaciones binarias

Una relación binaria en $A$ es un subconjunto $R \subset A \times A$ . Se escribe $xRy$ si $(x,y) \in R$ .

Propiedad	Definición
Reflexiva	$xRx\ \ \forall x$
Simétrica	$xRy \Rightarrow yRx$
Antisimétrica	$xRy$ y $yRx \Rightarrow x = y$
Transitiva	$xRy$ y $yRz \Rightarrow xRz$

Ejemplo: en $\mathbb N$ , $xRy \iff x+y$ es múltiplo de 6

No reflexiva: $2+2 = 4$ , así que $2 \not R\, 2$ .
Simétrica: $x+y = y+x$ .
No antisimétrica: $2R4$ y $4R2$ , pero $2 \neq 4$ .
No transitiva: $7R5$ y $5R1$ , pero $7+1 = 8$ , así que $7 \not R\, 1$ .

Relaciones de equivalencia (RBE)

Reflexiva + simétrica + transitiva. Agrupan elementos que "son iguales en algo".

Clase de equivalencia de $a$ : $[a] = \{b \in A \;/\; aRb\}$ .
$[a] = [b] \iff aRb$ , y si $a \not R\, b$ entonces $[a] \cap [b] = \varnothing$ . Las clases no se solapan: forman una partición de $A$ .
Conjunto cociente: $A/R = \{[a] \;/\; a \in A\}$ , el conjunto de todas las clases.

Congruencia módulo $p$

$m \equiv n \iff m - n$ es múltiplo de $p$ . Es una RBE, y su cociente son las clases residuales:

\mathbb Z/p\mathbb Z = \{[0], [1], \dots, [p-1]\}

una clase por cada resto posible al dividir entre $p$ . En $\mathbb Z/2\mathbb Z$ : $[0]$ son los pares y $[1]$ los impares.

Relaciones de orden

Reflexiva + antisimétrica + transitiva. Establecen jerarquías.

Orden total (TOSet): dos elementos cualesquiera siempre se pueden comparar ( $aRb$ o $bRa$ ). Ejemplos: $(\mathbb N, \leq)$ , $(\mathbb R, \leq)$ .
Orden parcial (POSet): hay pares no comparables. Ejemplos: los subconjuntos de un conjunto con $\subseteq$ , o $\mathbb N$ con " $a$ divide a $b$ " ( $2$ y $3$ no se comparan).

Estructuras algebraicas: grupo y cuerpo

Ley de composición interna (lci) en $A$ : una aplicación $*: A \times A \to A$ . Operar dos elementos de $A$ siempre da otro de $A$ . Por ejemplo, la resta en $\mathbb N$ no es lci ( $2 - 5 \notin \mathbb N$ ).

Grupo $(G, *)$

Asociativa: $a * (b * c) = (a * b) * c$ .
Elemento neutro $e$ : $a * e = e * a = a$ .
Elemento simétrico: para cada $a$ existe $a'$ con $a * a' = a' * a = e$ .

Si además es conmutativa, es un grupo abeliano.

Ejemplos: $(\mathbb Z, +)$ y $(\mathbb R \setminus \{0\}, \cdot)$ son grupos. $(\mathbb N, +)$ no lo es: no hay opuestos.

Cuerpo $(K, +, \circ)$

$(K, +)$ es grupo abeliano (neutro $0$ ).
$(K \setminus \{0\}, \circ)$ es grupo (neutro $1$ ): todo elemento no nulo tiene inverso.
Se cumple la distributiva: $(a+b)\circ c = a\circ c + b\circ c$ .

Ejemplos: $\mathbb Q$ , $\mathbb R$ y $\mathbb C$ son cuerpos. $\mathbb Z$ no lo es: $2$ no tiene inverso en $\mathbb Z$ .

$\mathbb Z/p\mathbb Z$ es cuerpo si y solo si $p$ es primo. Por ejemplo, en $\mathbb Z/3\mathbb Z$ :

$+$	$[0]$	$[1]$	$[2]$
$[0]$	$[0]$	$[1]$	$[2]$
$[1]$	$[1]$	$[2]$	$[0]$
$[2]$	$[2]$	$[0]$	$[1]$

$\cdot$	$[0]$	$[1]$	$[2]$
$[0]$	$[0]$	$[0]$	$[0]$
$[1]$	$[0]$	$[1]$	$[2]$
$[2]$	$[0]$	$[2]$	$[1]$

Todos los elementos no nulos tienen inverso: $[1]\cdot[1] = [1]$ y $[2]\cdot[2] = [1]$ .

Números complejos

Aparecen para resolver ecuaciones sin solución real. Cardano (1545) ya obtenía $5 \pm \sqrt{-15}$ ; Euler introdujo el símbolo $i = \sqrt{-1}$ y llegó a $e^{i\pi} + 1 = 0$ .

Definición y forma binómica

$\mathbb C$ es $\mathbb R^2$ con estas dos operaciones:

(a,b) + (c,d) = (a+c,\ b+d) \qquad (a,b)\cdot(c,d) = (ac - bd,\ ad + bc)

$(\mathbb C, +, \cdot)$ es un cuerpo conmutativo. Llamando $i = (0,1)$ , se cumple $i^2 = -1$ y todo complejo se escribe en forma binómica:

z = (a, b) = a + bi \qquad \text{Re}(z) = a,\quad \text{Im}(z) = b

Los reales son los complejos $(a, 0)$ , así que $\mathbb R \subset \mathbb C$ .

Interpretación gráfica, módulo y conjugado

El complejo $a + bi$ es el punto $(a,b)$ del plano complejo (eje real horizontal, eje imaginario vertical). La suma de complejos es la suma de vectores.

Módulo: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ , la distancia al origen.
Conjugado: $\bar z = a - bi$ , el simétrico respecto al eje real.

Propiedades del conjugado y del módulo

$\overline{z + w} = \bar z + \bar w$ , $\;\overline{zw} = \bar z\,\bar w$ , $\;\bar{\bar z} = z$
$\bar z = z \iff z \in \mathbb R$
$z\,\bar z = |z|^2$ → de aquí sale el inverso: $\dfrac{1}{z} = \dfrac{\bar z}{|z|^2}$ (así se divide: se multiplica arriba y abajo por el conjugado)
$|zw| = |z|\,|w|$ , $\;\left|\dfrac{z}{w}\right| = \dfrac{|z|}{|w|}$
Desigualdad triangular: $|z + w| \leq |z| + |w|$
$\text{Re}(z) = \dfrac{z + \bar z}{2}$ , $\;\text{Im}(z) = \dfrac{z - \bar z}{2i}$

Forma polar

Un argumento de $z \neq 0$ es cualquier ángulo $\theta$ tal que:

z = |z|\big(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta\big) = |z|\,e^{i\theta}

(también se escribe $z = |z|_\theta$ ). Para pasar de polar a binómica: $a = |z|\cos\theta$ , $b = |z|\operatorname{sen}\theta$ .

Si $\theta$ es un argumento, $\theta + 2k\pi$ también lo es: hay infinitos.
Argumento principal $\text{Arg}(z)$ : el único que está en $]-\pi, \pi]$ .

En polar, multiplicar es fácil

z\,w = r\rho\,\big(\cos(\theta+\alpha) + i\operatorname{sen}(\theta+\alpha)\big)

Se multiplican los módulos y se suman los argumentos. Por eso multiplicar por $i$ (módulo 1, argumento $\pi/2$ ) es girar 90°.

Consecuencias:

Potencia (fórmula de De Moivre): $z^n = r^n\big(\cos n\theta + i\operatorname{sen} n\theta\big)$ .
Inverso: $\dfrac1z = \dfrac1r\big(\cos(-\theta) + i\operatorname{sen}(-\theta)\big)$ .
Conjugado: $\bar z = r\big(\cos(-\theta) + i\operatorname{sen}(-\theta)\big)$ .

Raíces n-ésimas

La ecuación $w^n = z$ (con $z \neq 0$ ) tiene exactamente $n$ soluciones distintas:

w_k = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\operatorname{sen}\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \qquad k = 0, 1, \dots, n-1

Geométricamente, las $n$ raíces forman un polígono regular de $n$ lados centrado en el origen, sobre la circunferencia de radio $\sqrt[n]{|z|}$ y separadas un ángulo $2\pi/n$ .

Raíces cúbicas de $8i$

$8i = 8\,e^{i\pi/2}$ , así que $w_k = 2\,e^{i(\pi/2 + 2k\pi)/3}$ con $k = 0,1,2$ :

w_0 = \sqrt3 + i, \qquad w_1 = -\sqrt3 + i, \qquad w_2 = -2i

Un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia de radio 2.

Teorema fundamental del álgebra

Todo polinomio complejo de grado $n > 0$ se factoriza, de forma única salvo el orden, como:

p(z) = \alpha\,(z - z_1)(z - z_2)\cdots(z - z_n)

Es decir, en $\mathbb C$ todo polinomio de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces, contando repeticiones. La fórmula de la ecuación de segundo grado, $z = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ , sigue valiendo con coeficientes complejos, entendiendo la raíz como raíz compleja.