Tema 2: Fundamentos de resolución de circuitos. Teoremas

Diapositivas: Tema_02._Lección_02._Fundamentos_de_resolución_de_circuitos._Teoremas

Cómo leer esta nota

Sigue el orden de la lección (2.1 a 2.7). Los ejemplos de las diapositivas están resueltos paso a paso, con un bloque 💡 Idea antes de cada uno. Se apoya en el Tema 1 - Circuitos eléctricos.

2.1 Resolución de circuitos de continua

En un circuito de continua solo hay fuentes y resistencias, y nada varía con el tiempo. Por tanto:

Condensadores → circuito abierto: $\dfrac{du_C}{dt} = 0 \Rightarrow i_C = C\dfrac{du_C}{dt} = 0$ .
Bobinas → cortocircuito: $\dfrac{di_L}{dt} = 0 \Rightarrow u_L = L\dfrac{di_L}{dt} = 0$ .

Métodos de cálculo:

Análisis por mallas.
Análisis por nudos.
Asociación de elementos en serie y paralelo.
Teoremas (Thevenin, Norton, Millman, superposición).

En electrónica se usan sobre todo 3 y 4

Los circuitos electrónicos tienen elementos no lineales (diodos, transistores), y ahí mallas y nudos no se pueden aplicar directamente. Por eso lo importante es dominar las asociaciones y los teoremas.

Análisis por corrientes de malla

Se asigna a cada malla una corriente de malla ficticia ( $I_1, I_2, I_3$ ), elegida a conveniencia.
Se aplica la 2ª ley de Kirchhoff a cada malla: la suma algebraica de tensiones es cero.
Las corrientes reales salen sumando y restando las de malla. Por ejemplo, por una resistencia compartida entre las mallas 1 y 2 circula $I_1 - I_2$ .
Queda un sistema $[V] = [R]\,[I]$ : vector de tensiones = matriz de impedancias (simétrica respecto a la diagonal) × vector de corrientes. Es cómodo para un ordenador, pero engorroso a mano.

Regla para montar la matriz a ojo:

Diagonal $R_{kk}$ : suma de todas las resistencias de la malla $k$ .
Fuera de la diagonal $R_{jk}$ : menos la resistencia compartida entre las mallas $j$ y $k$ .
Término independiente: suma de las fuentes de la malla (positivas si empujan en el sentido de la corriente de malla).

Análisis por tensiones de nudo

Se elige un nudo de referencia (masa, 0 V).
Se aplica la 1ª ley de Kirchhoff en el resto de nudos. Las incógnitas son las tensiones de los nudos.
También da un sistema matricial. Compensa cuando ya se conocen las tensiones de muchos nudos, algo habitual en electrónica.

Asociación de elementos pasivos

	Serie	Paralelo
Resistencias	$R_{eq} = R_1 + R_2 + \dots + R_n$	$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{R_1} + \dots + \dfrac{1}{R_n}$
Bobinas	$L_{eq} = L_1 + L_2 + \dots + L_n$	$\dfrac{1}{L_{eq}} = \dfrac{1}{L_1} + \dots + \dfrac{1}{L_n}$
Condensadores	$\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{C_1} + \dots + \dfrac{1}{C_n}$	$C_{eq} = C_1 + C_2 + \dots + C_n$

Dos resistencias en paralelo (se usa constantemente): $R_{eq} = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$ , o sea, producto entre suma. Se escribe $R_1 \parallel R_2$ .

Divisores de tensión y de corriente

Divisor de tensión (resistencias en serie)

U_{R_1} = U\cdot\frac{R_1}{R_1 + R_2}

Cada resistencia se queda con una parte de la tensión proporcional a su valor.

Divisor de corriente (resistencias en paralelo)

I_{R_1} = I\cdot\frac{R_{eq}}{R_1} = I\cdot\frac{R_2}{R_1 + R_2}

Por cada rama circula más corriente cuanto menor es su resistencia. Ojo: en la fórmula de dos ramas aparece la resistencia de la otra rama.

Asociación de fuentes

Fuentes de tensión: se pueden poner en serie (se suman: $u = u_1 + u_2$ ). No se pueden poner en paralelo si son distintas, y nunca se cortocircuita una fuente de tensión ideal.
Fuentes de corriente: se pueden poner en paralelo (se suman: $i = i_1 + i_2$ ). No se pueden poner en serie si son distintas, y nunca se deja una fuente de corriente ideal en circuito abierto.

2.2 Teorema de Thevenin (muy importante)

Enunciado

Cualquier circuito lineal visto desde dos terminales $A$ y $B$ se puede sustituir por una fuente de tensión $V_{TH}$ en serie con una resistencia $R_{TH}$ .

Cómo se calculan:

$V_{TH}$ = tensión de vacío $V_{AB_0}$ : la tensión entre $A$ y $B$ sin nada conectado.
$R_{TH}$ , dos formas:
1. Anulando las fuentes (solo si no hay fuentes dependientes) y calculando la resistencia que se ve entre $A$ y $B$ . Anular una fuente de tensión = cortocircuito; anular una fuente de corriente = circuito abierto.
2. $R_{TH} = \dfrac{V_{AB_0}}{I_{AB_{cc}}}$ , es decir, tensión de vacío entre corriente de cortocircuito (uniendo $A$ y $B$ con un cable).

Ejemplo 1

Circuito: fuente de 5 V → 4 kΩ en serie → 4 kΩ a masa → 10 kΩ en serie → 12 kΩ a masa → 2 kΩ en serie → terminal $A$ . Entre $A$ y $B$ (masa) se conecta $R_L$ . Calcular la corriente en $R_L$ para $R_L = 1$ kΩ, $4{,}7$ kΩ y $22$ kΩ.

💡 Idea

Sale mucho más rápido aplicando Thevenin por etapas, de izquierda a derecha, que resolviendo el circuito entero tres veces. Cada bloque "fuente + resistencia serie + resistencia a masa" se convierte en un Thevenin nuevo, que es la fuente del bloque siguiente.

Etapa 1 (5 V, 4 kΩ en serie, 4 kΩ a masa):

$V_{TH_1} = 5\cdot\dfrac{4}{4+4} = 2{,}5$ V (divisor de tensión).
$R_{TH_1} = 4 \parallel 4 = 2$ kΩ (fuente anulada = corto).

Etapa 2 (Thevenin anterior + 10 kΩ en serie, 12 kΩ a masa):

La resistencia en serie total es $2 + 10 = 12$ kΩ.
$V_{TH_2} = 2{,}5\cdot\dfrac{12}{12+12} = 1{,}25$ V.
$R_{TH_2} = 12 \parallel 12 = 6$ kΩ.

Etapa 3 (+ 2 kΩ en serie hasta $A$ ): la tensión no cambia porque en vacío no circula corriente por los 2 kΩ.

$V_{TH} = 1{,}25$ V.
$R_{TH} = 6 + 2 = 8$ kΩ.

Resultado:

i = \frac{V_{TH}}{R_{TH} + R_L} = \frac{1{,}25\ \text{V}}{8\ \text{k}\Omega + R_L}

$R_L$	$i$
1 kΩ	$1{,}25 / 9\text{k} = 0{,}139$ mA
4,7 kΩ	$1{,}25 / 12{,}7\text{k} = 0{,}098$ mA
22 kΩ	$1{,}25 / 30\text{k} = 0{,}042$ mA

Coincide con la solución de la diapositiva: $i = \dfrac{1{,}25}{8\text{ k}\Omega + R_L}$ .

2.3 Teorema de Norton

Enunciado

El mismo circuito lineal también se puede sustituir por una fuente de corriente $I_{NO}$ en paralelo con una resistencia $R_{NO}$ .

$I_{NO}$ = corriente de cortocircuito $I_{AB_{cc}}$ entre $A$ y $B$ .
$R_{NO} = R_{TH}$ .
Relación: $I_{NO} = \dfrac{V_{TH}}{R_{TH}}$ . Es la equivalencia de fuentes reales del Tema 1 - Circuitos eléctricos.

Ejercicio propuesto (resuelto): Norton del Ejemplo 1.

$R_{NO} = R_{TH} = 8$ kΩ.
$I_{NO} = \dfrac{1{,}25\text{ V}}{8\text{ k}\Omega} = 0{,}156$ mA.

2.4 Teorema de Millman

Si entre dos nudos hay varias ramas en paralelo, cada una con una fuente $U_k$ en serie con una resistencia $R_k$ (una rama sin fuente tiene $U_k = 0$ ), la tensión entre los nudos es:

U = \frac{\dfrac{U_1}{R_1} + \dfrac{U_2}{R_2} + \dots + \dfrac{U_n}{R_n}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots + \dfrac{1}{R_n}}

Es una media ponderada de las tensiones: pesa más la fuente con menos resistencia.

Ejemplo 2

Circuito: entre $A$ (arriba) y $B$ (abajo) hay tres ramas: (1) fuente de 5 V con 4 kΩ en serie; (2) 4 kΩ sola; (3) 10 kΩ en serie con otra fuente de 5 V. Calcular $v_{AB}$ .

💡 Idea

Son tres ramas en paralelo entre los mismos dos nudos: es exactamente el caso de Millman. La rama sin fuente cuenta con $U = 0$ en el numerador, pero sí suma en el denominador.

U_{AB} = \frac{\dfrac{5}{4} + \dfrac{0}{4} + \dfrac{5}{10}}{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{10}} = \frac{1{,}25 + 0{,}5}{0{,}6} = \frac{1{,}75}{0{,}6} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92\ \text{V}

(Con las resistencias en kΩ, las unidades se cancelan.) Coincide con la diapositiva: $v = \dfrac{35}{12}$ V.

2.5 Transitorios de primer orden: circuitos RC y RL

Aparecen cuando hay una resistencia en serie con un elemento que almacena energía (condensador o bobina). Con una fuente de continua, todas las tensiones y corrientes evolucionan como exponenciales:

A(t) = A_\infty - \left[A_\infty - A_0\right]\,e^{-t/\tau}

$A_0$ : valor en el instante inicial.
$A_\infty$ : valor en régimen permanente (tiempo infinito).
$\tau$ : constante de tiempo. Vale $\tau = R\,C$ en un circuito RC y $\tau = \dfrac{L}{R}$ en un circuito RL.

💡 Cómo resolver cualquier transitorio de primer orden

Solo hay que encontrar tres números:

$A_0$ : lo que no puede saltar ( $v_C$ o $i_L$ ) conserva su valor de justo antes.
$A_\infty$ : se resuelve el circuito en continua (condensador = abierto, bobina = corto).
$\tau$ : $RC$ o $L/R$ , con la $R$ que "ve" el condensador o la bobina (su $R_{TH}$ ).

Regla práctica: tras $\tau$ se ha recorrido el 63 % del cambio, y tras $5\tau$ el 99 %. Se considera terminado.

Carga de un condensador (RC)

Fuente $V$ , resistencia $R$ y condensador, con $u_C(0) = u_{C_0}$ (dato) y $u_{C_\infty} = V$ :

u_C(t) = V - (V - u_{C_0})\,e^{-t/RC}

Si parte descargado ( $u_{C_0} = 0$ ):

u_C(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right) \qquad i_C(t) = \frac{V}{R}\,e^{-t/RC}

La corriente sí salta: en $t=0$ vale $V/R$ , porque el condensador descargado se comporta como un corto, y acaba en 0.

Bobina (RL)

Fuente $V$ , resistencia $R$ y bobina, con $i_L(0) = i_{L_0}$ y $i_{L_\infty} = V/R$ (bobina = corto):

i_L(t) = \frac{V}{R} - \left(\frac{V}{R} - i_{L_0}\right)e^{-t\,R/L}

Si $i_{L_0} = 0$ :

i_L(t) = \frac{V}{R}\left(1 - e^{-t\,R/L}\right) \qquad u_L(t) = V\,e^{-t\,R/L}

Ejemplo 3

Circuito: fuente de 5 V, $R = 1$ kΩ y $C = 10$ µF en serie; el condensador está inicialmente descargado. Evolución de $u_C(t)$ .

💡 Idea

Aplicar la receta de los tres números: $u_{C_0}$ , $u_{C_\infty}$ y $\tau$ .

$u_{C_0} = 0$ V (descargado).
$u_{C_\infty} = 5$ V: en permanente el condensador es un abierto, no circula corriente y no cae tensión en $R$ .
$\tau = RC = 1\,000 \cdot 10\cdot10^{-6} = 10$ ms.

u_C(t) = 5\left(1 - e^{-t/10\text{ ms}}\right)\ \text{V} \qquad i(t) = 5\,e^{-t/10\text{ ms}}\ \text{mA}

A los 10 ms, $u_C \approx 3{,}16$ V (63 %). A los 50 ms, $u_C \approx 4{,}97$ V: prácticamente cargado.

2.6 Curva característica, recta de carga y punto de funcionamiento

Curva característica de un dipolo: el conjunto de todos los pares $(u, i)$ que puede tener, dibujado en un diagrama $u$ – $i$ .

Elemento	Curva característica
Cortocircuito ( $R=0$ )	Eje vertical: $u = 0$ con cualquier $i$
Circuito abierto ( $R=\infty$ )	Eje horizontal: $i = 0$ con cualquier $u$
Resistencia $R$	Recta por el origen de pendiente $1/R$
Pila (fuente de tensión)	Recta vertical en $u = V$
Fuente de corriente	Recta horizontal en $i = I$

Recta de carga

Todo circuito lineal de continua se reduce a su Thevenin, así que los pares $(u, i)$ que puede dar forman una recta, la recta de carga:

u = V_{TH} - R_{TH}\cdot i \qquad\Longleftrightarrow\qquad i = \frac{V_{TH} - u}{R_{TH}}

Para dibujarla basta con dos puntos:

En vacío ( $i = 0$ ): $u = V_{TH}$ .
En cortocircuito ( $u = 0$ ): $i = \dfrac{V_{TH}}{R_{TH}}$ .

Punto de funcionamiento

Al conectar el circuito (recta de carga) a un dipolo (curva característica), el par $(V_P, I_P)$ que cumple las dos a la vez es el punto de corte, el punto de funcionamiento. Así se resuelven gráficamente circuitos con elementos no lineales, como los diodos del Tema 3 - El diodo.

2.7 Teorema de superposición

Enunciado

En un circuito lineal con varias fuentes independientes, la respuesta (tensión o corriente) de cualquier elemento es la suma de las respuestas a cada fuente actuando sola.

Procedimiento: se resuelve un circuito por fuente, anulando las demás (fuentes de tensión = corto, fuentes de corriente = abierto), y se suman los resultados:

V_A = V_{A_1} + V_{A_2} + V_{A_3}

Solo vale para circuitos lineales, y no sirve para la potencia directamente, porque es cuadrática.

Aspectos importantes de la lección

Asociaciones serie/paralelo de $R$ , $L$ y $C$ con soltura.
Resolver circuitos simples en continua.
Ecuaciones de resistencias, bobinas y condensadores.
Equivalente Thevenin con soltura.
Transitorio de primer orden e interpretación de $\tau$ .
Divisores de tensión y corriente.
Recta de carga, curva característica y punto de funcionamiento.