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Abrir el simulador

Edita una matriz 2×2 y mira cómo deforma el plano, su determinante y sus autovectores.
Una matriz no es solo una tabla de números: es una máquina que transforma el espacio. Una matriz 2×2 coge cada punto del plano y lo lleva a otro, girando, estirando, inclinando o reflejando todo a la vez. Ver las matrices así hace que el determinante, la inversa o los autovectores dejen de ser fórmulas y pasen a tener un significado geométrico claro.

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Lo que vas a aprender

  • Por qué las columnas de una matriz dicen todo lo que hace.
  • Las transformaciones básicas: rotación, escala, cizalla, reflexión y proyección.
  • El determinante como factor de cambio de área.
  • Qué son los autovalores y autovectores.

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Cómo se usa el simulador

  1. Edita los cuatro números de la matriz. La columna izquierda es adónde va ı^=(1,0)\hat\imath = (1, 0); la derecha, adónde va ȷ^=(0,1)\hat\jmath = (0, 1).
  2. O elige un ejemplo: identidad, rotación (con su ángulo), escala ×2, estirar en x, cizalla, reflejo en y, proyección en x o singular.
  3. El deslizador Transición desde la identidad y ▶ Animar muestran la deformación poco a poco.
  4. El panel da el determinante, la traza, los autovalores y el factor de área. Los autovectores se dibujan en amarillo.

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Fundamentos teóricos

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Las columnas lo deciden todo

Una matriz A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} transforma el vector (x,y)(x, y) en: A(xy)=x(ac)+y(bd)A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} Como cualquier vector es una combinación de ı^\hat\imath y ȷ^\hat\jmath, basta saber adónde van esos dos. Las rectas siguen siendo rectas, las paralelas siguen paralelas y el origen no se mueve: es una transformación lineal.

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Transformaciones típicas

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El determinante es un factor de área

El cuadrado unidad se convierte en un paralelogramo de área ∣det⁡A∣|\det A|. Todas las áreas se multiplican por ese factor.
  • det⁡A<0\det A < 0: el plano se da la vuelta (cambia la orientación).
  • det⁡A=0\det A = 0: el plano se aplasta sobre una recta o un punto. Se pierde información y la matriz no tiene inversa.

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Producto de matrices

ABAB es aplicar primero BB y luego AA. Por eso el orden importa y det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B\det(AB) = \det A \cdot \det B.

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Autovalores y autovectores

Un autovector es una dirección que la matriz no gira, solo estira: Av⃗=λv⃗A\vec v = \lambda\vec v λ\lambda es el autovalor: el factor de estiramiento. Se obtienen de la ecuación característica: det⁡(A−λI)=0⟺λ2−tr(A) λ+det⁡A=0\det(A - \lambda I) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda^2 - \text{tr}(A)\,\lambda + \det A = 0 Además, λ1+λ2=tr(A)\lambda_1 + \lambda_2 = \text{tr}(A) y λ1λ2=det⁡A\lambda_1\lambda_2 = \det A. Una rotación (salvo de 0° o 180°) no tiene autovectores reales: lo gira todo.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Autovalores

A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}: det⁡A=3\det A = 3, traza 4.λ2−4λ+3=0⇒λ=1\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 1 y λ=3\lambda = 3. Autovectores: (1,−1)(1, -1) y (1,1)(1, 1). En la diagonal y=xy = x estira por 3; en la otra diagonal no estira nada.
(0−110)\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}: det⁡=1\det = 1 (no cambia áreas), traza 0. λ2+1=0\lambda^2 + 1 = 0: autovalores ±i\pm i, sin autovectores reales.
(1101)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}: det⁡=1\det = 1. Autovalor 1 doble, con un solo autovector: el eje X, que no se mueve.

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Experimenta con el simulador

1

Las columnas

Pon la matriz (2001)\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y mira adónde van ı^\hat\imath y ȷ^\hat\jmath. Cambia el 0 de arriba a la derecha por 1.
2

Área

Elige “Escala ×2”. ¿Por cuánto se multiplica el área? ¿Coincide con el determinante?
3

Aplastar

Elige “Singular”. ¿Qué le pasa a la cuadrícula? ¿Por qué no se puede deshacer?
4

Autovectores

Con (2112)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, anima la transición y mira las líneas amarillas: ¿giran?

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Errores frecuentes

  • Leer la matriz por filas en lugar de por columnas para saber adónde van los vectores base.
  • Pensar que determinante negativo significa área negativa. Significa orientación invertida.
  • Olvidar que el orden del producto importa.

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Herramientas relacionadas

Calculadora de matrices

Determinante e inversa paso a paso.

Calculadora de vectores

Operaciones con vectores.

Números complejos

Multiplicar por un complejo es una rotación y escala.
Última modificación el 6 de octubre de 2026